Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14720 / 10112
↖ ↑ ↗
← N 56.559482°
W 18.281250°		 ← 673.17 m → N 56.559482°
W 18.270264°		 →
↑
673.22 m
↓
↑
673.22 m
↓
N 56.553428°
W 18.281250°		 ← 673.28 m →
453 233 m²		 N 56.553428°
W 18.270264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449234008789062 y=0.308609008789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449234008789062 × 215)
    floor (0.449234008789062 × 32768)
    floor (14720.5)     		tx = 14720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308609008789062 × 215)
    floor (0.308609008789062 × 32768)
    floor (10112.5)     		ty = 10112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14720 / 10112 ti = "15/14720/10112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14720/10112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14720 ÷ 215
    14720 ÷ 32768     		x = 0.44921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10112 ÷ 215
    10112 ÷ 32768     		y = 0.30859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44921875 × 2 - 1) × π
    -0.1015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31906800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30859375 × 2 - 1) × π
    0.3828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.20264093766797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31906800} λ = -0.31906800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20264093766797))-π/2
    2×atan(3.32889673294267)-π/2
    2×1.27897275967083-π/2
    2.55794551934167-1.57079632675     		φ = 0.98714919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31906800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.281250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98714919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.559482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14720 KachelY 10112 -0.31906800 0.98714919 -18.281250 56.559482
    Oben rechts KachelX + 1 14721 KachelY 10112 -0.31887626 0.98714919 -18.270264 56.559482
    Unten links KachelX 14720 KachelY + 1 10113 -0.31906800 0.98704352 -18.281250 56.553428
    Unten rechts KachelX + 1 14721 KachelY + 1 10113 -0.31887626 0.98704352 -18.270264 56.553428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98714919-0.98704352) × R
    0.000105670000000058 × 6371000     		dl = 673.223570000367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98714919-0.98704352) × R
    0.000105670000000058 × 6371000     		dr = 673.223570000367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31906800--0.31887626) × cos(0.98714919) × R
    0.000191739999999996 × 0.55107097894133 × 6371000     		do = 673.174828678569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31906800--0.31887626) × cos(0.98704352) × R
    0.000191739999999996 × 0.551159153080764 × 6371000     		du = 673.282540050563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98714919)-sin(0.98704352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55107097894133-0.551159153080764)×R²
    abs(-0.31887626--0.31906800)×8.81741394341828e-05×R²
    0.000191739999999996×8.81741394341828e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.81741394341828e-05×40589641000000     		ar = 453233.418736559m²