Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1472 / 577
↖ ↑ ↗
← N 82.303009°
W115.312500°		 ← 654.47 m → N 82.303009°
W115.268555°		 →
↑
654.68 m
↓
↑
654.68 m
↓
N 82.297121°
W115.312500°		 ← 654.97 m →
428 633 m²		 N 82.297121°
W115.268555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.17974853515625 y=0.07049560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.17974853515625 × 213)
    floor (0.17974853515625 × 8192)
    floor (1472.5)     		tx = 1472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.07049560546875 × 213)
    floor (0.07049560546875 × 8192)
    floor (577.5)     		ty = 577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1472 / 577 ti = "13/1472/577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1472/577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1472 ÷ 213
    1472 ÷ 8192     		x = 0.1796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 577 ÷ 213
    577 ÷ 8192     		y = 0.0704345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1796875 × 2 - 1) × π
    -0.640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.01258279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0704345703125 × 2 - 1) × π
    0.859130859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.69903919620764
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.01258279} λ = -2.01258279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69903919620764))-π/2
    2×atan(14.8654420880702)-π/2
    2×1.5036274088637-π/2
    3.00725481772741-1.57079632675     		φ = 1.43645849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.01258279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -115.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43645849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.303009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1472 KachelY 577 -2.01258279 1.43645849 -115.312500 82.303009
    Oben rechts KachelX + 1 1473 KachelY 577 -2.01181580 1.43645849 -115.268555 82.303009
    Unten links KachelX 1472 KachelY + 1 578 -2.01258279 1.43635573 -115.312500 82.297121
    Unten rechts KachelX + 1 1473 KachelY + 1 578 -2.01181580 1.43635573 -115.268555 82.297121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43645849-1.43635573) × R
    0.000102759999999869 × 6371000     		dl = 654.683959999162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43645849-1.43635573) × R
    0.000102759999999869 × 6371000     		dr = 654.683959999162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.01258279--2.01181580) × cos(1.43645849) × R
    0.000766990000000245 × 0.133934143147645 × 6371000     		do = 654.468291793076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.01258279--2.01181580) × cos(1.43635573) × R
    0.000766990000000245 × 0.134035976596838 × 6371000     		du = 654.965900259256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43645849)-sin(1.43635573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133934143147645-0.134035976596838)×R²
    abs(-2.01181580--2.01258279)×0.000101833449193234×R²
    0.000766990000000245×0.000101833449193234×6371000²
    0.000766990000000245×0.000101833449193234×40589641000000     		ar = 428632.781481093m²