Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14719 / 7824
↖ ↑ ↗
← N 68.073305°
W 18.292236°		 ← 456.18 m → N 68.073305°
W 18.281250°		 →
↑
456.23 m
↓
↑
456.23 m
↓
N 68.069202°
W 18.292236°		 ← 456.27 m →
208 142 m²		 N 68.069202°
W 18.281250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449203491210938 y=0.238784790039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449203491210938 × 215)
    floor (0.449203491210938 × 32768)
    floor (14719.5)     		tx = 14719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238784790039062 × 215)
    floor (0.238784790039062 × 32768)
    floor (7824.5)     		ty = 7824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14719 / 7824 ti = "15/14719/7824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14719/7824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14719 ÷ 215
    14719 ÷ 32768     		x = 0.449188232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7824 ÷ 215
    7824 ÷ 32768     		y = 0.23876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449188232421875 × 2 - 1) × π
    -0.10162353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31925975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23876953125 × 2 - 1) × π
    0.5224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.64135944299072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31925975} λ = -0.31925975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64135944299072))-π/2
    2×atan(5.16218243704978)-π/2
    2×1.37944981360882-π/2
    2.75889962721763-1.57079632675     		φ = 1.18810330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31925975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.292236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18810330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.073305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14719 KachelY 7824 -0.31925975 1.18810330 -18.292236 68.073305
    Oben rechts KachelX + 1 14720 KachelY 7824 -0.31906800 1.18810330 -18.281250 68.073305
    Unten links KachelX 14719 KachelY + 1 7825 -0.31925975 1.18803169 -18.292236 68.069202
    Unten rechts KachelX + 1 14720 KachelY + 1 7825 -0.31906800 1.18803169 -18.281250 68.069202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18810330-1.18803169) × R
    7.16099999999997e-05 × 6371000     		dl = 456.227309999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18810330-1.18803169) × R
    7.16099999999997e-05 × 6371000     		dr = 456.227309999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31925975--0.31906800) × cos(1.18810330) × R
    0.000191749999999991 × 0.373420040107369 × 6371000     		do = 456.184577731714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31925975--0.31906800) × cos(1.18803169) × R
    0.000191749999999991 × 0.373486469052216 × 6371000     		du = 456.265729938075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18810330)-sin(1.18803169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373420040107369-0.373486469052216)×R²
    abs(-0.31906800--0.31925975)×6.64289448473743e-05×R²
    0.000191749999999991×6.64289448473743e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.64289448473743e-05×40589641000000     		ar = 208142.374777334m²