Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14718 / 9449
↖ ↑ ↗
← N 60.364997°
W 18.303223°		 ← 604.07 m → N 60.364997°
W 18.292236°		 →
↑
604.10 m
↓
↑
604.10 m
↓
N 60.359564°
W 18.303223°		 ← 604.17 m →
364 947 m²		 N 60.359564°
W 18.292236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449172973632812 y=0.288375854492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449172973632812 × 215)
    floor (0.449172973632812 × 32768)
    floor (14718.5)     		tx = 14718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288375854492188 × 215)
    floor (0.288375854492188 × 32768)
    floor (9449.5)     		ty = 9449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14718 / 9449 ti = "15/14718/9449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14718/9449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14718 ÷ 215
    14718 ÷ 32768     		x = 0.44915771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9449 ÷ 215
    9449 ÷ 32768     		y = 0.288360595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44915771484375 × 2 - 1) × π
    -0.1016845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31945150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288360595703125 × 2 - 1) × π
    0.42327880859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.32976959546036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31945150} λ = -0.31945150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32976959546036))-π/2
    2×atan(3.7801723183607)-π/2
    2×1.31218213892492-π/2
    2.62436427784984-1.57079632675     		φ = 1.05356795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31945150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.303223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05356795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.364997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14718 KachelY 9449 -0.31945150 1.05356795 -18.303223 60.364997
    Oben rechts KachelX + 1 14719 KachelY 9449 -0.31925975 1.05356795 -18.292236 60.364997
    Unten links KachelX 14718 KachelY + 1 9450 -0.31945150 1.05347313 -18.303223 60.359564
    Unten rechts KachelX + 1 14719 KachelY + 1 9450 -0.31925975 1.05347313 -18.292236 60.359564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05356795-1.05347313) × R
    9.481999999994e-05 × 6371000     		dl = 604.098219999617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05356795-1.05347313) × R
    9.481999999994e-05 × 6371000     		dr = 604.098219999617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31945150--0.31925975) × cos(1.05356795) × R
    0.000191749999999991 × 0.494472964657661 × 6371000     		do = 604.067581689631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31945150--0.31925975) × cos(1.05347313) × R
    0.000191749999999991 × 0.494555379315807 × 6371000     		du = 604.168262670798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05356795)-sin(1.05347313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.494472964657661-0.494555379315807)×R²
    abs(-0.31925975--0.31945150)×8.24146581459573e-05×R²
    0.000191749999999991×8.24146581459573e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.24146581459573e-05×40589641000000     		ar = 364946.561732012m²