Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14718 / 7821
↖ ↑ ↗
← N 68.085609°
W 18.303223°		 ← 455.94 m → N 68.085609°
W 18.292236°		 →
↑
455.97 m
↓
↑
455.97 m
↓
N 68.081508°
W 18.303223°		 ← 456.02 m →
207 915 m²		 N 68.081508°
W 18.292236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449172973632812 y=0.238693237304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449172973632812 × 215)
    floor (0.449172973632812 × 32768)
    floor (14718.5)     		tx = 14718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238693237304688 × 215)
    floor (0.238693237304688 × 32768)
    floor (7821.5)     		ty = 7821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14718 / 7821 ti = "15/14718/7821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14718/7821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14718 ÷ 215
    14718 ÷ 32768     		x = 0.44915771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7821 ÷ 215
    7821 ÷ 32768     		y = 0.238677978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44915771484375 × 2 - 1) × π
    -0.1016845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.31945150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.238677978515625 × 2 - 1) × π
    0.52264404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.64193468578616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31945150} λ = -0.31945150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64193468578616))-π/2
    2×atan(5.16515279956335)-π/2
    2×1.3795571885499-π/2
    2.7591143770998-1.57079632675     		φ = 1.18831805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31945150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.303223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18831805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.085609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14718 KachelY 7821 -0.31945150 1.18831805 -18.303223 68.085609
    Oben rechts KachelX + 1 14719 KachelY 7821 -0.31925975 1.18831805 -18.292236 68.085609
    Unten links KachelX 14718 KachelY + 1 7822 -0.31945150 1.18824648 -18.303223 68.081508
    Unten rechts KachelX + 1 14719 KachelY + 1 7822 -0.31925975 1.18824648 -18.292236 68.081508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18831805-1.18824648) × R
    7.15699999997987e-05 × 6371000     		dl = 455.972469998718m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18831805-1.18824648) × R
    7.15699999997987e-05 × 6371000     		dr = 455.972469998718m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31945150--0.31925975) × cos(1.18831805) × R
    0.000191749999999991 × 0.373220816004224 × 6371000     		do = 455.941197747766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31945150--0.31925975) × cos(1.18824648) × R
    0.000191749999999991 × 0.373287213581963 × 6371000     		du = 456.022311634837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18831805)-sin(1.18824648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373220816004224-0.373287213581963)×R²
    abs(-0.31925975--0.31945150)×6.63975777391856e-05×R²
    0.000191749999999991×6.63975777391856e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.63975777391856e-05×40589641000000     		ar = 207915.127049818m²