Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14717 / 7769
↖ ↑ ↗
← N 68.297842°
W 18.314209°		 ← 451.74 m → N 68.297842°
W 18.303223°		 →
↑
451.77 m
↓
↑
451.77 m
↓
N 68.293779°
W 18.314209°		 ← 451.82 m →
204 100 m²		 N 68.293779°
W 18.303223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449142456054688 y=0.237106323242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449142456054688 × 215)
    floor (0.449142456054688 × 32768)
    floor (14717.5)     		tx = 14717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237106323242188 × 215)
    floor (0.237106323242188 × 32768)
    floor (7769.5)     		ty = 7769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14717 / 7769 ti = "15/14717/7769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14717/7769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14717 ÷ 215
    14717 ÷ 32768     		x = 0.449127197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7769 ÷ 215
    7769 ÷ 32768     		y = 0.237091064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449127197265625 × 2 - 1) × π
    -0.10174560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31964325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237091064453125 × 2 - 1) × π
    0.52581787109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.65190556090714
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31964325} λ = -0.31964325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65190556090714))-π/2
    2×atan(5.2169115040851)-π/2
    2×1.38140927388148-π/2
    2.76281854776295-1.57079632675     		φ = 1.19202222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31964325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.314209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19202222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.297842°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14717 KachelY 7769 -0.31964325 1.19202222 -18.314209 68.297842
    Oben rechts KachelX + 1 14718 KachelY 7769 -0.31945150 1.19202222 -18.303223 68.297842
    Unten links KachelX 14717 KachelY + 1 7770 -0.31964325 1.19195131 -18.314209 68.293779
    Unten rechts KachelX + 1 14718 KachelY + 1 7770 -0.31945150 1.19195131 -18.303223 68.293779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19202222-1.19195131) × R
    7.09099999998131e-05 × 6371000     		dl = 451.767609998809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19202222-1.19195131) × R
    7.09099999998131e-05 × 6371000     		dr = 451.767609998809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31964325--0.31945150) × cos(1.19202222) × R
    0.000191749999999991 × 0.369781747319324 × 6371000     		do = 451.739896458847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31964325--0.31945150) × cos(1.19195131) × R
    0.000191749999999991 × 0.369847630192822 × 6371000     		du = 451.820381563014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19202222)-sin(1.19195131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369781747319324-0.369847630192822)×R²
    abs(-0.31945150--0.31964325)×6.58828734972916e-05×R²
    0.000191749999999991×6.58828734972916e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.58828734972916e-05×40589641000000     		ar = 204099.633731231m²