Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14716 / 7794
↖ ↑ ↗
← N 68.196052°
W 18.325195°		 ← 453.73 m → N 68.196052°
W 18.314209°		 →
↑
453.81 m
↓
↑
453.81 m
↓
N 68.191971°
W 18.325195°		 ← 453.81 m →
205 925 m²		 N 68.191971°
W 18.314209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449111938476562 y=0.237869262695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449111938476562 × 215)
    floor (0.449111938476562 × 32768)
    floor (14716.5)     		tx = 14716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237869262695312 × 215)
    floor (0.237869262695312 × 32768)
    floor (7794.5)     		ty = 7794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14716 / 7794 ti = "15/14716/7794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14716/7794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14716 ÷ 215
    14716 ÷ 32768     		x = 0.4490966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7794 ÷ 215
    7794 ÷ 32768     		y = 0.23785400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4490966796875 × 2 - 1) × π
    -0.101806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.31983499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23785400390625 × 2 - 1) × π
    0.5242919921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.64711187094513
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31983499} λ = -0.31983499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64711187094513))-π/2
    2×atan(5.1919630930242)-π/2
    2×1.38052098812168-π/2
    2.76104197624336-1.57079632675     		φ = 1.19024565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31983499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.325195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19024565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.196052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14716 KachelY 7794 -0.31983499 1.19024565 -18.325195 68.196052
    Oben rechts KachelX + 1 14717 KachelY 7794 -0.31964325 1.19024565 -18.314209 68.196052
    Unten links KachelX 14716 KachelY + 1 7795 -0.31983499 1.19017442 -18.325195 68.191971
    Unten rechts KachelX + 1 14717 KachelY + 1 7795 -0.31964325 1.19017442 -18.314209 68.191971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19024565-1.19017442) × R
    7.12300000000887e-05 × 6371000     		dl = 453.806330000565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19024565-1.19017442) × R
    7.12300000000887e-05 × 6371000     		dr = 453.806330000565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31983499--0.31964325) × cos(1.19024565) × R
    0.000191739999999996 × 0.371431807212315 × 6371000     		do = 453.732010468549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31983499--0.31964325) × cos(1.19017442) × R
    0.000191739999999996 × 0.371497940492706 × 6371000     		du = 453.812797266255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19024565)-sin(1.19017442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371431807212315-0.371497940492706)×R²
    abs(-0.31964325--0.31983499)×6.6133280391012e-05×R²
    0.000191739999999996×6.6133280391012e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.6133280391012e-05×40589641000000     		ar = 205924.789341755m²