Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14715 / 7768
↖ ↑ ↗
← N 68.301905°
W 18.336182°		 ← 451.66 m → N 68.301905°
W 18.325195°		 →
↑
451.70 m
↓
↑
451.70 m
↓
N 68.297842°
W 18.336182°		 ← 451.74 m →
204 034 m²		 N 68.297842°
W 18.325195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449081420898438 y=0.237075805664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449081420898438 × 215)
    floor (0.449081420898438 × 32768)
    floor (14715.5)     		tx = 14715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237075805664062 × 215)
    floor (0.237075805664062 × 32768)
    floor (7768.5)     		ty = 7768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14715 / 7768 ti = "15/14715/7768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14715/7768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14715 ÷ 215
    14715 ÷ 32768     		x = 0.449066162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7768 ÷ 215
    7768 ÷ 32768     		y = 0.237060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449066162109375 × 2 - 1) × π
    -0.10186767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32002674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237060546875 × 2 - 1) × π
    0.52587890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.65209730850562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32002674} λ = -0.32002674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65209730850562))-π/2
    2×atan(5.21791193024908)-π/2
    2×1.38144472310452-π/2
    2.76288944620904-1.57079632675     		φ = 1.19209312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32002674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.336182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19209312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.301905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14715 KachelY 7768 -0.32002674 1.19209312 -18.336182 68.301905
    Oben rechts KachelX + 1 14716 KachelY 7768 -0.31983499 1.19209312 -18.325195 68.301905
    Unten links KachelX 14715 KachelY + 1 7769 -0.32002674 1.19202222 -18.336182 68.297842
    Unten rechts KachelX + 1 14716 KachelY + 1 7769 -0.31983499 1.19202222 -18.325195 68.297842
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19209312-1.19202222) × R
    7.09000000000959e-05 × 6371000     		dl = 451.703900000611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19209312-1.19202222) × R
    7.09000000000959e-05 × 6371000     		dr = 451.703900000611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32002674--0.31983499) × cos(1.19209312) × R
    0.000191749999999991 × 0.369715871877928 × 6371000     		do = 451.659420434026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32002674--0.31983499) × cos(1.19202222) × R
    0.000191749999999991 × 0.369781747319324 × 6371000     		du = 451.739896458847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19209312)-sin(1.19202222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369715871877928-0.369781747319324)×R²
    abs(-0.31983499--0.32002674)×6.58754413959683e-05×R²
    0.000191749999999991×6.58754413959683e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.58754413959683e-05×40589641000000     		ar = 204034.497435246m²