Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14715 / 11497
↖ ↑ ↗
← N 47.212106°
W 18.336182°		 ← 829.84 m → N 47.212106°
W 18.325195°		 →
↑
829.89 m
↓
↑
829.89 m
↓
N 47.204642°
W 18.336182°		 ← 829.96 m →
688 724 m²		 N 47.204642°
W 18.325195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449081420898438 y=0.350875854492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449081420898438 × 215)
    floor (0.449081420898438 × 32768)
    floor (14715.5)     		tx = 14715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350875854492188 × 215)
    floor (0.350875854492188 × 32768)
    floor (11497.5)     		ty = 11497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14715 / 11497 ti = "15/14715/11497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14715/11497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14715 ÷ 215
    14715 ÷ 32768     		x = 0.449066162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11497 ÷ 215
    11497 ÷ 32768     		y = 0.350860595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449066162109375 × 2 - 1) × π
    -0.10186767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32002674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350860595703125 × 2 - 1) × π
    0.29827880859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.937070513772858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32002674} λ = -0.32002674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.937070513772858))-π/2
    2×atan(2.55249296204274)-π/2
    2×1.19740150968057-π/2
    2.39480301936115-1.57079632675     		φ = 0.82400669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32002674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.336182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82400669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.212106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14715 KachelY 11497 -0.32002674 0.82400669 -18.336182 47.212106
    Oben rechts KachelX + 1 14716 KachelY 11497 -0.31983499 0.82400669 -18.325195 47.212106
    Unten links KachelX 14715 KachelY + 1 11498 -0.32002674 0.82387643 -18.336182 47.204642
    Unten rechts KachelX + 1 14716 KachelY + 1 11498 -0.31983499 0.82387643 -18.325195 47.204642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82400669-0.82387643) × R
    0.000130260000000049 × 6371000     		dl = 829.88646000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82400669-0.82387643) × R
    0.000130260000000049 × 6371000     		dr = 829.88646000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32002674--0.31983499) × cos(0.82400669) × R
    0.000191749999999991 × 0.679286264407345 × 6371000     		do = 829.84276258585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32002674--0.31983499) × cos(0.82387643) × R
    0.000191749999999991 × 0.679381852993541 × 6371000     		du = 829.959537354599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82400669)-sin(0.82387643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679286264407345-0.679381852993541)×R²
    abs(-0.31983499--0.32002674)×9.55885861956274e-05×R²
    0.000191749999999991×9.55885861956274e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.55885861956274e-05×40589641000000     		ar = 688723.728472406m²