Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14713 / 11501
↖ ↑ ↗
← N 47.182246°
W 18.358154°		 ← 830.31 m → N 47.182246°
W 18.347168°		 →
↑
830.33 m
↓
↑
830.33 m
↓
N 47.174779°
W 18.358154°		 ← 830.43 m →
689 482 m²		 N 47.174779°
W 18.347168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.449020385742188 y=0.350997924804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.449020385742188 × 215)
    floor (0.449020385742188 × 32768)
    floor (14713.5)     		tx = 14713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350997924804688 × 215)
    floor (0.350997924804688 × 32768)
    floor (11501.5)     		ty = 11501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14713 / 11501 ti = "15/14713/11501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14713/11501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14713 ÷ 215
    14713 ÷ 32768     		x = 0.449005126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11501 ÷ 215
    11501 ÷ 32768     		y = 0.350982666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.449005126953125 × 2 - 1) × π
    -0.10198974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32041024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.350982666015625 × 2 - 1) × π
    0.29803466796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.936303523378937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32041024} λ = -0.32041024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.936303523378937))-π/2
    2×atan(2.55053597505135)-π/2
    2×1.1971409333444-π/2
    2.3942818666888-1.57079632675     		φ = 0.82348554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32041024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.358154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82348554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.182246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14713 KachelY 11501 -0.32041024 0.82348554 -18.358154 47.182246
    Oben rechts KachelX + 1 14714 KachelY 11501 -0.32021849 0.82348554 -18.347168 47.182246
    Unten links KachelX 14713 KachelY + 1 11502 -0.32041024 0.82335521 -18.358154 47.174779
    Unten rechts KachelX + 1 14714 KachelY + 1 11502 -0.32021849 0.82335521 -18.347168 47.174779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82348554-0.82335521) × R
    0.000130329999999956 × 6371000     		dl = 830.332429999722m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82348554-0.82335521) × R
    0.000130329999999956 × 6371000     		dr = 830.332429999722m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32041024--0.32021849) × cos(0.82348554) × R
    0.000191749999999991 × 0.679668630267615 × 6371000     		do = 830.309875728615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32041024--0.32021849) × cos(0.82335521) × R
    0.000191749999999991 × 0.679764224064391 × 6371000     		du = 830.426656862813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82348554)-sin(0.82335521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679668630267615-0.679764224064391)×R²
    abs(-0.32021849--0.32041024)×9.55937967759279e-05×R²
    0.000191749999999991×9.55937967759279e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.55937967759279e-05×40589641000000     		ar = 689481.701324309m²