Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14711 / 9451
↖ ↑ ↗
← N 60.354130°
W 18.380127°		 ← 604.27 m → N 60.354130°
W 18.369140°		 →
↑
604.29 m
↓
↑
604.29 m
↓
N 60.348696°
W 18.380127°		 ← 604.37 m →
365 184 m²		 N 60.348696°
W 18.369140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448959350585938 y=0.288436889648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448959350585938 × 215)
    floor (0.448959350585938 × 32768)
    floor (14711.5)     		tx = 14711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288436889648438 × 215)
    floor (0.288436889648438 × 32768)
    floor (9451.5)     		ty = 9451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14711 / 9451 ti = "15/14711/9451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14711/9451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14711 ÷ 215
    14711 ÷ 32768     		x = 0.448944091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9451 ÷ 215
    9451 ÷ 32768     		y = 0.288421630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448944091796875 × 2 - 1) × π
    -0.10211181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32079373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288421630859375 × 2 - 1) × π
    0.42315673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.3293861002634
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32079373} λ = -0.32079373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3293861002634))-π/2
    2×atan(3.77872291836966)-π/2
    2×1.31208730911818-π/2
    2.62417461823636-1.57079632675     		φ = 1.05337829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32079373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.380127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05337829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.354130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14711 KachelY 9451 -0.32079373 1.05337829 -18.380127 60.354130
    Oben rechts KachelX + 1 14712 KachelY 9451 -0.32060198 1.05337829 -18.369140 60.354130
    Unten links KachelX 14711 KachelY + 1 9452 -0.32079373 1.05328344 -18.380127 60.348696
    Unten rechts KachelX + 1 14712 KachelY + 1 9452 -0.32060198 1.05328344 -18.369140 60.348696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05337829-1.05328344) × R
    9.48499999999797e-05 × 6371000     		dl = 604.289349999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05337829-1.05328344) × R
    9.48499999999797e-05 × 6371000     		dr = 604.289349999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32079373--0.32060198) × cos(1.05337829) × R
    0.000191749999999991 × 0.494637806909473 × 6371000     		do = 604.268959454503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32079373--0.32060198) × cos(1.05328344) × R
    0.000191749999999991 × 0.494720238744579 × 6371000     		du = 604.369661419719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05337829)-sin(1.05328344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.494637806909473-0.494720238744579)×R²
    abs(-0.32060198--0.32079373)×8.24318351068665e-05×R²
    0.000191749999999991×8.24318351068665e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.24318351068665e-05×40589641000000     		ar = 365183.723570598m²