Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14710 / 9453
↖ ↑ ↗
← N 60.343260°
W 18.391113°		 ← 604.47 m → N 60.343260°
W 18.380127°		 →
↑
604.54 m
↓
↑
604.54 m
↓
N 60.337823°
W 18.391113°		 ← 604.57 m →
365 460 m²		 N 60.337823°
W 18.380127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448928833007812 y=0.288497924804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448928833007812 × 215)
    floor (0.448928833007812 × 32768)
    floor (14710.5)     		tx = 14710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288497924804688 × 215)
    floor (0.288497924804688 × 32768)
    floor (9453.5)     		ty = 9453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14710 / 9453 ti = "15/14710/9453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14710/9453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14710 ÷ 215
    14710 ÷ 32768     		x = 0.44891357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9453 ÷ 215
    9453 ÷ 32768     		y = 0.288482666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44891357421875 × 2 - 1) × π
    -0.1021728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32098548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288482666015625 × 2 - 1) × π
    0.42303466796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.32900260506644
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32098548} λ = -0.32098548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32900260506644))-π/2
    2×atan(3.77727407410999)-π/2
    2×1.31199244769984-π/2
    2.62398489539968-1.57079632675     		φ = 1.05318857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32098548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.391113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05318857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.343260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14710 KachelY 9453 -0.32098548 1.05318857 -18.391113 60.343260
    Oben rechts KachelX + 1 14711 KachelY 9453 -0.32079373 1.05318857 -18.380127 60.343260
    Unten links KachelX 14710 KachelY + 1 9454 -0.32098548 1.05309368 -18.391113 60.337823
    Unten rechts KachelX + 1 14711 KachelY + 1 9454 -0.32079373 1.05309368 -18.380127 60.337823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05318857-1.05309368) × R
    9.48900000001807e-05 × 6371000     		dl = 604.544190001151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05318857-1.05309368) × R
    9.48900000001807e-05 × 6371000     		dr = 604.544190001151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32098548--0.32079373) × cos(1.05318857) × R
    0.000191749999999991 × 0.494802683509032 × 6371000     		do = 604.470379179931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32098548--0.32079373) × cos(1.05309368) × R
    0.000191749999999991 × 0.494885141199271 × 6371000     		du = 604.571112730792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05318857)-sin(1.05309368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.494802683509032-0.494885141199271)×R²
    abs(-0.32079373--0.32098548)×8.24576902395124e-05×R²
    0.000191749999999991×8.24576902395124e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.24576902395124e-05×40589641000000     		ar = 365459.504976516m²