Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14710 / 11288
↖ ↑ ↗
← N 48.748945°
W 18.391113°		 ← 805.50 m → N 48.748945°
W 18.380127°		 →
↑
805.55 m
↓
↑
805.55 m
↓
N 48.741701°
W 18.391113°		 ← 805.62 m →
648 916 m²		 N 48.741701°
W 18.380127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448928833007812 y=0.344497680664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448928833007812 × 215)
    floor (0.448928833007812 × 32768)
    floor (14710.5)     		tx = 14710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344497680664062 × 215)
    floor (0.344497680664062 × 32768)
    floor (11288.5)     		ty = 11288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14710 / 11288 ti = "15/14710/11288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14710/11288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14710 ÷ 215
    14710 ÷ 32768     		x = 0.44891357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11288 ÷ 215
    11288 ÷ 32768     		y = 0.344482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44891357421875 × 2 - 1) × π
    -0.1021728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32098548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344482421875 × 2 - 1) × π
    0.31103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.977145761855225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32098548} λ = -0.32098548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.977145761855225))-π/2
    2×atan(2.65686209220012)-π/2
    2×1.21081296494707-π/2
    2.42162592989414-1.57079632675     		φ = 0.85082960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32098548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.391113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85082960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.748945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14710 KachelY 11288 -0.32098548 0.85082960 -18.391113 48.748945
    Oben rechts KachelX + 1 14711 KachelY 11288 -0.32079373 0.85082960 -18.380127 48.748945
    Unten links KachelX 14710 KachelY + 1 11289 -0.32098548 0.85070316 -18.391113 48.741701
    Unten rechts KachelX + 1 14711 KachelY + 1 11289 -0.32079373 0.85070316 -18.380127 48.741701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85082960-0.85070316) × R
    0.00012643999999995 × 6371000     		dl = 805.549239999681m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85082960-0.85070316) × R
    0.00012643999999995 × 6371000     		dr = 805.549239999681m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32098548--0.32079373) × cos(0.85082960) × R
    0.000191749999999991 × 0.65935965662025 × 6371000     		do = 805.49963639378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32098548--0.32079373) × cos(0.85070316) × R
    0.000191749999999991 × 0.659454712439794 × 6371000     		du = 805.615760313876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85082960)-sin(0.85070316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65935965662025-0.659454712439794)×R²
    abs(-0.32079373--0.32098548)×9.50558195444984e-05×R²
    0.000191749999999991×9.50558195444984e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.50558195444984e-05×40589641000000     		ar = 648916.392548954m²