Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14709 / 9450
↖ ↑ ↗
← N 60.359564°
W 18.402100°		 ← 604.17 m → N 60.359564°
W 18.391113°		 →
↑
604.23 m
↓
↑
604.23 m
↓
N 60.354130°
W 18.402100°		 ← 604.27 m →
365 084 m²		 N 60.354130°
W 18.391113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448898315429688 y=0.288406372070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448898315429688 × 215)
    floor (0.448898315429688 × 32768)
    floor (14709.5)     		tx = 14709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288406372070312 × 215)
    floor (0.288406372070312 × 32768)
    floor (9450.5)     		ty = 9450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14709 / 9450 ti = "15/14709/9450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14709/9450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14709 ÷ 215
    14709 ÷ 32768     		x = 0.448883056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9450 ÷ 215
    9450 ÷ 32768     		y = 0.28839111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448883056640625 × 2 - 1) × π
    -0.10223388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32117723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28839111328125 × 2 - 1) × π
    0.4232177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.32957784786188
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32117723} λ = -0.32117723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32957784786188))-π/2
    2×atan(3.77944754888544)-π/2
    2×1.31213472797255-π/2
    2.62426945594511-1.57079632675     		φ = 1.05347313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32117723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.402100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05347313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.359564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14709 KachelY 9450 -0.32117723 1.05347313 -18.402100 60.359564
    Oben rechts KachelX + 1 14710 KachelY 9450 -0.32098548 1.05347313 -18.391113 60.359564
    Unten links KachelX 14709 KachelY + 1 9451 -0.32117723 1.05337829 -18.402100 60.354130
    Unten rechts KachelX + 1 14710 KachelY + 1 9451 -0.32098548 1.05337829 -18.391113 60.354130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05347313-1.05337829) × R
    9.48400000000404e-05 × 6371000     		dl = 604.225640000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05347313-1.05337829) × R
    9.48400000000404e-05 × 6371000     		dr = 604.225640000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32117723--0.32098548) × cos(1.05347313) × R
    0.000191749999999991 × 0.494555379315807 × 6371000     		do = 604.168262670798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32117723--0.32098548) × cos(1.05337829) × R
    0.000191749999999991 × 0.494637806909473 × 6371000     		du = 604.268959454503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05347313)-sin(1.05337829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.494555379315807-0.494637806909473)×R²
    abs(-0.32098548--0.32117723)×8.24275936658347e-05×R²
    0.000191749999999991×8.24275936658347e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.24275936658347e-05×40589641000000     		ar = 365084.377242838m²