Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14708 / 11492
↖ ↑ ↗
← N 47.249407°
W 18.413086°		 ← 829.26 m → N 47.249407°
W 18.402100°		 →
↑
829.31 m
↓
↑
829.31 m
↓
N 47.241949°
W 18.413086°		 ← 829.38 m →
687 764 m²		 N 47.241949°
W 18.402100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448867797851562 y=0.350723266601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448867797851562 × 215)
    floor (0.448867797851562 × 32768)
    floor (14708.5)     		tx = 14708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.350723266601562 × 215)
    floor (0.350723266601562 × 32768)
    floor (11492.5)     		ty = 11492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14708 / 11492 ti = "15/14708/11492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14708/11492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14708 ÷ 215
    14708 ÷ 32768     		x = 0.4488525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11492 ÷ 215
    11492 ÷ 32768     		y = 0.3507080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4488525390625 × 2 - 1) × π
    -0.102294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32136898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3507080078125 × 2 - 1) × π
    0.298583984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.938029251765259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32136898} λ = -0.32136898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.938029251765259))-π/2
    2×atan(2.55494130749415)-π/2
    2×1.19772702390328-π/2
    2.39545404780657-1.57079632675     		φ = 0.82465772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32136898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.413086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82465772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.249407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14708 KachelY 11492 -0.32136898 0.82465772 -18.413086 47.249407
    Oben rechts KachelX + 1 14709 KachelY 11492 -0.32117723 0.82465772 -18.402100 47.249407
    Unten links KachelX 14708 KachelY + 1 11493 -0.32136898 0.82452755 -18.413086 47.241949
    Unten rechts KachelX + 1 14709 KachelY + 1 11493 -0.32117723 0.82452755 -18.402100 47.241949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82465772-0.82452755) × R
    0.000130170000000041 × 6371000     		dl = 829.313070000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82465772-0.82452755) × R
    0.000130170000000041 × 6371000     		dr = 829.313070000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32136898--0.32117723) × cos(0.82465772) × R
    0.000191750000000046 × 0.678808346885465 × 6371000     		do = 829.258919783098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32136898--0.32117723) × cos(0.82452755) × R
    0.000191750000000046 × 0.678903926980642 × 6371000     		du = 829.375684178885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82465772)-sin(0.82452755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678808346885465-0.678903926980642)×R²
    abs(-0.32117723--0.32136898)×9.55800951770724e-05×R²
    0.000191750000000046×9.55800951770724e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.55800951770724e-05×40589641000000     		ar = 687763.67868106m²