Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14707 / 9447
↖ ↑ ↗
← N 60.375860°
W 18.424072°		 ← 603.83 m → N 60.375860°
W 18.413086°		 →
↑
603.91 m
↓
↑
603.91 m
↓
N 60.370429°
W 18.424072°		 ← 603.94 m →
364 690 m²		 N 60.370429°
W 18.413086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448837280273438 y=0.288314819335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448837280273438 × 215)
    floor (0.448837280273438 × 32768)
    floor (14707.5)     		tx = 14707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288314819335938 × 215)
    floor (0.288314819335938 × 32768)
    floor (9447.5)     		ty = 9447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14707 / 9447 ti = "15/14707/9447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14707/9447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14707 ÷ 215
    14707 ÷ 32768     		x = 0.448822021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9447 ÷ 215
    9447 ÷ 32768     		y = 0.288299560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448822021484375 × 2 - 1) × π
    -0.10235595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32156072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288299560546875 × 2 - 1) × π
    0.42340087890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.33015309065732
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32156072} λ = -0.32156072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33015309065732))-π/2
    2×atan(3.78162227429628)-π/2
    2×1.31227693712718-π/2
    2.62455387425435-1.57079632675     		φ = 1.05375755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32156072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.424072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05375755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.375860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14707 KachelY 9447 -0.32156072 1.05375755 -18.424072 60.375860
    Oben rechts KachelX + 1 14708 KachelY 9447 -0.32136898 1.05375755 -18.413086 60.375860
    Unten links KachelX 14707 KachelY + 1 9448 -0.32156072 1.05366276 -18.424072 60.370429
    Unten rechts KachelX + 1 14708 KachelY + 1 9448 -0.32136898 1.05366276 -18.413086 60.370429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05375755-1.05366276) × R
    9.47900000001223e-05 × 6371000     		dl = 603.907090000779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05375755-1.05366276) × R
    9.47900000001223e-05 × 6371000     		dr = 603.907090000779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32156072--0.32136898) × cos(1.05375755) × R
    0.000191739999999996 × 0.494308156776409 × 6371000     		do = 603.834753540534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32156072--0.32136898) × cos(1.05366276) × R
    0.000191739999999996 × 0.49439055424619 × 6371000     		du = 603.935408274176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05375755)-sin(1.05366276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.494308156776409-0.49439055424619)×R²
    abs(-0.32136898--0.32156072)×8.23974697808927e-05×R²
    0.000191739999999996×8.23974697808927e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.23974697808927e-05×40589641000000     		ar = 364690.482178372m²