Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14707 / 9445
↖ ↑ ↗
← N 60.386720°
W 18.424072°		 ← 603.63 m → N 60.386720°
W 18.413086°		 →
↑
603.72 m
↓
↑
603.72 m
↓
N 60.381290°
W 18.424072°		 ← 603.73 m →
364 454 m²		 N 60.381290°
W 18.413086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448837280273438 y=0.288253784179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448837280273438 × 215)
    floor (0.448837280273438 × 32768)
    floor (14707.5)     		tx = 14707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288253784179688 × 215)
    floor (0.288253784179688 × 32768)
    floor (9445.5)     		ty = 9445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14707 / 9445 ti = "15/14707/9445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14707/9445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14707 ÷ 215
    14707 ÷ 32768     		x = 0.448822021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9445 ÷ 215
    9445 ÷ 32768     		y = 0.288238525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448822021484375 × 2 - 1) × π
    -0.10235595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32156072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288238525390625 × 2 - 1) × π
    0.42352294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.33053658585428
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32156072} λ = -0.32156072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33053658585428))-π/2
    2×atan(3.78307278638962)-π/2
    2×1.31237170373208-π/2
    2.62474340746417-1.57079632675     		φ = 1.05394708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32156072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.424072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05394708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.386720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14707 KachelY 9445 -0.32156072 1.05394708 -18.424072 60.386720
    Oben rechts KachelX + 1 14708 KachelY 9445 -0.32136898 1.05394708 -18.413086 60.386720
    Unten links KachelX 14707 KachelY + 1 9446 -0.32156072 1.05385232 -18.424072 60.381290
    Unten rechts KachelX + 1 14708 KachelY + 1 9446 -0.32136898 1.05385232 -18.413086 60.381290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05394708-1.05385232) × R
    9.47599999998605e-05 × 6371000     		dl = 603.715959999111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05394708-1.05385232) × R
    9.47599999998605e-05 × 6371000     		dr = 603.715959999111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32156072--0.32136898) × cos(1.05394708) × R
    0.000191739999999996 × 0.49414339198232 × 6371000     		do = 603.633480898221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32156072--0.32136898) × cos(1.05385232) × R
    0.000191739999999996 × 0.49422577225187 × 6371000     		du = 603.734114620482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05394708)-sin(1.05385232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.49414339198232-0.49422577225187)×R²
    abs(-0.32136898--0.32156072)×8.23802695507081e-05×R²
    0.000191739999999996×8.23802695507081e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.23802695507081e-05×40589641000000     		ar = 364453.543772674m²