Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14707 / 7797
↖ ↑ ↗
← N 68.183807°
W 18.424072°		 ← 453.97 m → N 68.183807°
W 18.413086°		 →
↑
454.06 m
↓
↑
454.06 m
↓
N 68.179724°
W 18.424072°		 ← 454.06 m →
206 150 m²		 N 68.179724°
W 18.413086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448837280273438 y=0.237960815429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448837280273438 × 215)
    floor (0.448837280273438 × 32768)
    floor (14707.5)     		tx = 14707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237960815429688 × 215)
    floor (0.237960815429688 × 32768)
    floor (7797.5)     		ty = 7797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14707 / 7797 ti = "15/14707/7797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14707/7797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14707 ÷ 215
    14707 ÷ 32768     		x = 0.448822021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7797 ÷ 215
    7797 ÷ 32768     		y = 0.237945556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448822021484375 × 2 - 1) × π
    -0.10235595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32156072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237945556640625 × 2 - 1) × π
    0.52410888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.64653662814969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32156072} λ = -0.32156072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64653662814969))-π/2
    2×atan(5.18897731251744)-π/2
    2×1.38041412785284-π/2
    2.76082825570567-1.57079632675     		φ = 1.19003193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32156072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.424072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19003193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.183807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14707 KachelY 7797 -0.32156072 1.19003193 -18.424072 68.183807
    Oben rechts KachelX + 1 14708 KachelY 7797 -0.32136898 1.19003193 -18.413086 68.183807
    Unten links KachelX 14707 KachelY + 1 7798 -0.32156072 1.18996066 -18.424072 68.179724
    Unten rechts KachelX + 1 14708 KachelY + 1 7798 -0.32136898 1.18996066 -18.413086 68.179724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19003193-1.18996066) × R
    7.12700000000677e-05 × 6371000     		dl = 454.061170000431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19003193-1.18996066) × R
    7.12700000000677e-05 × 6371000     		dr = 454.061170000431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32156072--0.32136898) × cos(1.19003193) × R
    0.000191739999999996 × 0.371630229249955 × 6371000     		do = 453.974397976328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32156072--0.32136898) × cos(1.18996066) × R
    0.000191739999999996 × 0.371696394008098 × 6371000     		du = 454.055223226485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19003193)-sin(1.18996066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371630229249955-0.371696394008098)×R²
    abs(-0.32136898--0.32156072)×6.6164758142695e-05×R²
    0.000191739999999996×6.6164758142695e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.6164758142695e-05×40589641000000     		ar = 206150.496186412m²