Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14706 / 9966
↖ ↑ ↗
← N 57.433124°
W 18.435059°		 ← 657.59 m → N 57.433124°
W 18.424072°		 →
↑
657.61 m
↓
↑
657.61 m
↓
N 57.427210°
W 18.435059°		 ← 657.69 m →
432 475 m²		 N 57.427210°
W 18.424072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448806762695312 y=0.304153442382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448806762695312 × 215)
    floor (0.448806762695312 × 32768)
    floor (14706.5)     		tx = 14706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304153442382812 × 215)
    floor (0.304153442382812 × 32768)
    floor (9966.5)     		ty = 9966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14706 / 9966 ti = "15/14706/9966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14706/9966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14706 ÷ 215
    14706 ÷ 32768     		x = 0.44879150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9966 ÷ 215
    9966 ÷ 32768     		y = 0.30413818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44879150390625 × 2 - 1) × π
    -0.1024169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32175247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30413818359375 × 2 - 1) × π
    0.3917236328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.23063608704608
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32175247} λ = -0.32175247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23063608704608))-π/2
    2×atan(3.4234064283524)-π/2
    2×1.28659671861626-π/2
    2.57319343723252-1.57079632675     		φ = 1.00239711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32175247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.435059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00239711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.433124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14706 KachelY 9966 -0.32175247 1.00239711 -18.435059 57.433124
    Oben rechts KachelX + 1 14707 KachelY 9966 -0.32156072 1.00239711 -18.424072 57.433124
    Unten links KachelX 14706 KachelY + 1 9967 -0.32175247 1.00229389 -18.435059 57.427210
    Unten rechts KachelX + 1 14707 KachelY + 1 9967 -0.32156072 1.00229389 -18.424072 57.427210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00239711-1.00229389) × R
    0.000103219999999959 × 6371000     		dl = 657.614619999742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00239711-1.00229389) × R
    0.000103219999999959 × 6371000     		dr = 657.614619999742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32175247--0.32156072) × cos(1.00239711) × R
    0.000191749999999991 × 0.538283656962883 × 6371000     		do = 657.588442979361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32175247--0.32156072) × cos(1.00229389) × R
    0.000191749999999991 × 0.538370644167406 × 6371000     		du = 657.694709962654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00239711)-sin(1.00229389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.538283656962883-0.538370644167406)×R²
    abs(-0.32156072--0.32175247)×8.69872045226039e-05×R²
    0.000191749999999991×8.69872045226039e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.69872045226039e-05×40589641000000     		ar = 432474.715790913m²