Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14706 / 9458
↖ ↑ ↗
← N 60.316068°
W 18.435059°		 ← 604.97 m → N 60.316068°
W 18.424072°		 →
↑
604.99 m
↓
↑
604.99 m
↓
N 60.310627°
W 18.435059°		 ← 605.07 m →
366 034 m²		 N 60.310627°
W 18.424072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448806762695312 y=0.288650512695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448806762695312 × 215)
    floor (0.448806762695312 × 32768)
    floor (14706.5)     		tx = 14706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288650512695312 × 215)
    floor (0.288650512695312 × 32768)
    floor (9458.5)     		ty = 9458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14706 / 9458 ti = "15/14706/9458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14706/9458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14706 ÷ 215
    14706 ÷ 32768     		x = 0.44879150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9458 ÷ 215
    9458 ÷ 32768     		y = 0.28863525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44879150390625 × 2 - 1) × π
    -0.1024169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32175247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28863525390625 × 2 - 1) × π
    0.4227294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.32804386707404
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32175247} λ = -0.32175247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32804386707404))-π/2
    2×atan(3.7736543933874)-π/2
    2×1.31175515580649-π/2
    2.62351031161298-1.57079632675     		φ = 1.05271398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32175247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.435059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05271398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.316068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14706 KachelY 9458 -0.32175247 1.05271398 -18.435059 60.316068
    Oben rechts KachelX + 1 14707 KachelY 9458 -0.32156072 1.05271398 -18.424072 60.316068
    Unten links KachelX 14706 KachelY + 1 9459 -0.32175247 1.05261902 -18.435059 60.310627
    Unten rechts KachelX + 1 14707 KachelY + 1 9459 -0.32156072 1.05261902 -18.424072 60.310627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05271398-1.05261902) × R
    9.49599999999773e-05 × 6371000     		dl = 604.990159999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05271398-1.05261902) × R
    9.49599999999773e-05 × 6371000     		dr = 604.990159999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32175247--0.32156072) × cos(1.05271398) × R
    0.000191749999999991 × 0.495215049020656 × 6371000     		do = 604.974141074278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32175247--0.32156072) × cos(1.05261902) × R
    0.000191749999999991 × 0.495297545227525 × 6371000     		du = 605.074921678565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05271398)-sin(1.05261902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.495215049020656-0.495297545227525)×R²
    abs(-0.32156072--0.32175247)×8.24962068689539e-05×R²
    0.000191749999999991×8.24962068689539e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.24962068689539e-05×40589641000000     		ar = 366033.888316676m²