Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1470 / 1734
↖ ↑ ↗
← N 26.588527°
W 50.800782°		 ← 8 739.49 m → N 26.588527°
W 50.712890°		 →
↑
8 742.41 m
↓
↑
8 742.41 m
↓
N 26.509905°
W 50.800782°		 ← 8 745.48 m →
76 430 454 m²		 N 26.509905°
W 50.712890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3590087890625 y=0.4234619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3590087890625 × 212)
    floor (0.3590087890625 × 4096)
    floor (1470.5)     		tx = 1470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4234619140625 × 212)
    floor (0.4234619140625 × 4096)
    floor (1734.5)     		ty = 1734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1470 / 1734 ti = "12/1470/1734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1470/1734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1470 ÷ 212
    1470 ÷ 4096     		x = 0.35888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1734 ÷ 212
    1734 ÷ 4096     		y = 0.42333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35888671875 × 2 - 1) × π
    -0.2822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.88664090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42333984375 × 2 - 1) × π
    0.1533203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.481669967382324
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88664090} λ = -0.88664090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.481669967382324))-π/2
    2×atan(1.6187754484338)-π/2
    2×1.01742683437951-π/2
    2.03485366875902-1.57079632675     		φ = 0.46405734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88664090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.800782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46405734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.588527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1470 KachelY 1734 -0.88664090 0.46405734 -50.800782 26.588527
    Oben rechts KachelX + 1 1471 KachelY 1734 -0.88510691 0.46405734 -50.712890 26.588527
    Unten links KachelX 1470 KachelY + 1 1735 -0.88664090 0.46268512 -50.800782 26.509905
    Unten rechts KachelX + 1 1471 KachelY + 1 1735 -0.88510691 0.46268512 -50.712890 26.509905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46405734-0.46268512) × R
    0.00137221999999998 × 6371000     		dl = 8742.41361999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46405734-0.46268512) × R
    0.00137221999999998 × 6371000     		dr = 8742.41361999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88664090--0.88510691) × cos(0.46405734) × R
    0.00153398999999999 × 0.894243878653715 × 6371000     		do = 8739.49039760733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88664090--0.88510691) × cos(0.46268512) × R
    0.00153398999999999 × 0.894857214808168 × 6371000     		du = 8745.48456268947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46405734)-sin(0.46268512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894243878653715-0.894857214808168)×R²
    abs(-0.88510691--0.88664090)×0.000613336154452471×R²
    0.00153398999999999×0.000613336154452471×6371000²
    0.00153398999999999×0.000613336154452471×40589641000000     		ar = 76430453.6122617m²