Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1470 / 1722
↖ ↑ ↗
← N 27.527758°
W 50.800782°		 ← 8 666.61 m → N 27.527758°
W 50.712890°		 →
↑
8 669.66 m
↓
↑
8 669.66 m
↓
N 27.449790°
W 50.800782°		 ← 8 672.75 m →
75 163 192 m²		 N 27.449790°
W 50.712890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3590087890625 y=0.4205322265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3590087890625 × 212)
    floor (0.3590087890625 × 4096)
    floor (1470.5)     		tx = 1470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4205322265625 × 212)
    floor (0.4205322265625 × 4096)
    floor (1722.5)     		ty = 1722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1470 / 1722 ti = "12/1470/1722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1470/1722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1470 ÷ 212
    1470 ÷ 4096     		x = 0.35888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1722 ÷ 212
    1722 ÷ 4096     		y = 0.42041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35888671875 × 2 - 1) × π
    -0.2822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.88664090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42041015625 × 2 - 1) × π
    0.1591796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.500077736836426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88664090} λ = -0.88664090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.500077736836426))-π/2
    2×atan(1.64884944205761)-π/2
    2×1.02562317159243-π/2
    2.05124634318485-1.57079632675     		φ = 0.48045002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88664090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.800782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48045002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.527758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1470 KachelY 1722 -0.88664090 0.48045002 -50.800782 27.527758
    Oben rechts KachelX + 1 1471 KachelY 1722 -0.88510691 0.48045002 -50.712890 27.527758
    Unten links KachelX 1470 KachelY + 1 1723 -0.88664090 0.47908922 -50.800782 27.449790
    Unten rechts KachelX + 1 1471 KachelY + 1 1723 -0.88510691 0.47908922 -50.712890 27.449790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48045002-0.47908922) × R
    0.0013608 × 6371000     		dl = 8669.65679999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48045002-0.47908922) × R
    0.0013608 × 6371000     		dr = 8669.65679999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88664090--0.88510691) × cos(0.48045002) × R
    0.00153398999999999 × 0.886787023105504 × 6371000     		do = 8666.6141733294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88664090--0.88510691) × cos(0.47908922) × R
    0.00153398999999999 × 0.887415134068556 × 6371000     		du = 8672.75273335901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48045002)-sin(0.47908922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886787023105504-0.887415134068556)×R²
    abs(-0.88510691--0.88664090)×0.000628110963052486×R²
    0.00153398999999999×0.000628110963052486×6371000²
    0.00153398999999999×0.000628110963052486×40589641000000     		ar = 75163191.7039204m²