Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 147 / 62
↖ ↑ ↗
← N 82.765373°
W128.320312°		 ← 4 922.96 m → N 82.765373°
W127.968750°		 →
↑
4 937.97 m
↓
↑
4 937.97 m
↓
N 82.720964°
W128.320312°		 ← 4 953.01 m →
24 383 636 m²		 N 82.720964°
W127.968750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 62 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.14404296875 y=0.06103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.14404296875 × 210)
    floor (0.14404296875 × 1024)
    floor (147.5)     		tx = 147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.06103515625 × 210)
    floor (0.06103515625 × 1024)
    floor (62.5)     		ty = 62
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 147 / 62 ti = "10/147/62"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/147/62.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 147 ÷ 210
    147 ÷ 1024     		x = 0.1435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 62 ÷ 210
    62 ÷ 1024     		y = 0.060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1435546875 × 2 - 1) × π
    -0.712890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.23961195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.060546875 × 2 - 1) × π
    0.87890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.76116541811523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23961195} λ = -2.23961195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.76116541811523))-π/2
    2×atan(15.818267105288)-π/2
    2×1.50766229291162-π/2
    3.01532458582323-1.57079632675     		φ = 1.44452826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23961195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.320312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44452826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.765373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 147 KachelY 62 -2.23961195 1.44452826 -128.320312 82.765373
    Oben rechts KachelX + 1 148 KachelY 62 -2.23347603 1.44452826 -127.968750 82.765373
    Unten links KachelX 147 KachelY + 1 63 -2.23961195 1.44375319 -128.320312 82.720964
    Unten rechts KachelX + 1 148 KachelY + 1 63 -2.23347603 1.44375319 -127.968750 82.720964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44452826-1.44375319) × R
    0.000775069999999989 × 6371000     		dl = 4937.97096999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44452826-1.44375319) × R
    0.000775069999999989 × 6371000     		dr = 4937.97096999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23961195--2.23347603) × cos(1.44452826) × R
    0.00613592000000018 × 0.125932805725766 × 6371000     		do = 4922.95848135876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23961195--2.23347603) × cos(1.44375319) × R
    0.00613592000000018 × 0.126701667315055 × 6371000     		du = 4953.01477733479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44452826)-sin(1.44375319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.125932805725766-0.126701667315055)×R²
    abs(-2.23347603--2.23961195)×0.000768861589289627×R²
    0.00613592000000018×0.000768861589289627×6371000²
    0.00613592000000018×0.000768861589289627×40589641000000     		ar = 24383635.8466501m²