Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14698 / 7750
↖ ↑ ↗
← N 68.374900°
W 18.522949°		 ← 450.21 m → N 68.374900°
W 18.511963°		 →
↑
450.24 m
↓
↑
450.24 m
↓
N 68.370851°
W 18.522949°		 ← 450.29 m →
202 721 m²		 N 68.370851°
W 18.511963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448562622070312 y=0.236526489257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448562622070312 × 215)
    floor (0.448562622070312 × 32768)
    floor (14698.5)     		tx = 14698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236526489257812 × 215)
    floor (0.236526489257812 × 32768)
    floor (7750.5)     		ty = 7750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14698 / 7750 ti = "15/14698/7750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14698/7750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14698 ÷ 215
    14698 ÷ 32768     		x = 0.44854736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7750 ÷ 215
    7750 ÷ 32768     		y = 0.23651123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44854736328125 × 2 - 1) × π
    -0.1029052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32328645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23651123046875 × 2 - 1) × π
    0.5269775390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.65554876527826
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32328645} λ = -0.32328645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65554876527826))-π/2
    2×atan(5.23595244283543)-π/2
    2×1.38208173015176-π/2
    2.76416346030352-1.57079632675     		φ = 1.19336713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32328645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.522949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19336713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.374900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14698 KachelY 7750 -0.32328645 1.19336713 -18.522949 68.374900
    Oben rechts KachelX + 1 14699 KachelY 7750 -0.32309470 1.19336713 -18.511963 68.374900
    Unten links KachelX 14698 KachelY + 1 7751 -0.32328645 1.19329646 -18.522949 68.370851
    Unten rechts KachelX + 1 14699 KachelY + 1 7751 -0.32309470 1.19329646 -18.511963 68.370851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19336713-1.19329646) × R
    7.06699999999394e-05 × 6371000     		dl = 450.238569999614m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19336713-1.19329646) × R
    7.06699999999394e-05 × 6371000     		dr = 450.238569999614m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32328645--0.32309470) × cos(1.19336713) × R
    0.000191749999999991 × 0.368531832309707 × 6371000     		do = 450.212951223934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32328645--0.32309470) × cos(1.19329646) × R
    0.000191749999999991 × 0.368597527290568 × 6371000     		du = 450.293206791082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19336713)-sin(1.19329646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368531832309707-0.368597527290568)×R²
    abs(-0.32309470--0.32328645)×6.56949808611751e-05×R²
    0.000191749999999991×6.56949808611751e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.56949808611751e-05×40589641000000     		ar = 202721.302514641m²