Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14697 / 11544
↖ ↑ ↗
← N 46.860191°
W 18.533936°		 ← 835.33 m → N 46.860191°
W 18.522949°		 →
↑
835.37 m
↓
↑
835.37 m
↓
N 46.852678°
W 18.533936°		 ← 835.45 m →
697 858 m²		 N 46.852678°
W 18.522949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448532104492188 y=0.352310180664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448532104492188 × 215)
    floor (0.448532104492188 × 32768)
    floor (14697.5)     		tx = 14697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352310180664062 × 215)
    floor (0.352310180664062 × 32768)
    floor (11544.5)     		ty = 11544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14697 / 11544 ti = "15/14697/11544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14697/11544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14697 ÷ 215
    14697 ÷ 32768     		x = 0.448516845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11544 ÷ 215
    11544 ÷ 32768     		y = 0.352294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448516845703125 × 2 - 1) × π
    -0.10296630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32347820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352294921875 × 2 - 1) × π
    0.29541015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.928058376644287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32347820} λ = -0.32347820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.928058376644287))-π/2
    2×atan(2.5295928897375)-π/2
    2×1.19433047405684-π/2
    2.38866094811367-1.57079632675     		φ = 0.81786462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32347820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.533936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81786462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.860191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14697 KachelY 11544 -0.32347820 0.81786462 -18.533936 46.860191
    Oben rechts KachelX + 1 14698 KachelY 11544 -0.32328645 0.81786462 -18.522949 46.860191
    Unten links KachelX 14697 KachelY + 1 11545 -0.32347820 0.81773350 -18.533936 46.852678
    Unten rechts KachelX + 1 14698 KachelY + 1 11545 -0.32328645 0.81773350 -18.522949 46.852678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81786462-0.81773350) × R
    0.00013112000000004 × 6371000     		dl = 835.365520000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81786462-0.81773350) × R
    0.00013112000000004 × 6371000     		dr = 835.365520000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32347820--0.32328645) × cos(0.81786462) × R
    0.000191749999999991 × 0.683780924871142 × 6371000     		do = 835.333616223847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32347820--0.32328645) × cos(0.81773350) × R
    0.000191749999999991 × 0.683876595599884 × 6371000     		du = 835.450491341154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81786462)-sin(0.81773350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683780924871142-0.683876595599884)×R²
    abs(-0.32328645--0.32347820)×9.56707287418368e-05×R²
    0.000191749999999991×9.56707287418368e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.56707287418368e-05×40589641000000     		ar = 697857.718412679m²