Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14696 / 11529
↖ ↑ ↗
← N 46.972757°
W 18.544922°		 ← 833.58 m → N 46.972757°
W 18.533936°		 →
↑
833.65 m
↓
↑
833.65 m
↓
N 46.965259°
W 18.544922°		 ← 833.70 m →
694 959 m²		 N 46.965259°
W 18.533936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448501586914062 y=0.351852416992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448501586914062 × 215)
    floor (0.448501586914062 × 32768)
    floor (14696.5)     		tx = 14696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351852416992188 × 215)
    floor (0.351852416992188 × 32768)
    floor (11529.5)     		ty = 11529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14696 / 11529 ti = "15/14696/11529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14696/11529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14696 ÷ 215
    14696 ÷ 32768     		x = 0.448486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11529 ÷ 215
    11529 ÷ 32768     		y = 0.351837158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448486328125 × 2 - 1) × π
    -0.10302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32366995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351837158203125 × 2 - 1) × π
    0.29632568359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.930934590621491
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32366995} λ = -0.32366995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.930934590621491))-π/2
    2×atan(2.53687901336597)-π/2
    2×1.1953127923748-π/2
    2.39062558474959-1.57079632675     		φ = 0.81982926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32366995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.544922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81982926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.972757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14696 KachelY 11529 -0.32366995 0.81982926 -18.544922 46.972757
    Oben rechts KachelX + 1 14697 KachelY 11529 -0.32347820 0.81982926 -18.533936 46.972757
    Unten links KachelX 14696 KachelY + 1 11530 -0.32366995 0.81969841 -18.544922 46.965259
    Unten rechts KachelX + 1 14697 KachelY + 1 11530 -0.32347820 0.81969841 -18.533936 46.965259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81982926-0.81969841) × R
    0.000130850000000016 × 6371000     		dl = 833.6453500001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81982926-0.81969841) × R
    0.000130850000000016 × 6371000     		dr = 833.6453500001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32366995--0.32347820) × cos(0.81982926) × R
    0.000191749999999991 × 0.682346033181868 × 6371000     		do = 833.580696216731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32366995--0.32347820) × cos(0.81969841) × R
    0.000191749999999991 × 0.682441682528822 × 6371000     		du = 833.697545213207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81982926)-sin(0.81969841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682346033181868-0.682441682528822)×R²
    abs(-0.32347820--0.32366995)×9.56493469542741e-05×R²
    0.000191749999999991×9.56493469542741e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.56493469542741e-05×40589641000000     		ar = 694959.377553574m²