Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14695 / 8934
↖ ↑ ↗
← N 63.045001°
W 18.555908°		 ← 553.73 m → N 63.045001°
W 18.544922°		 →
↑
553.77 m
↓
↑
553.77 m
↓
N 63.040021°
W 18.555908°		 ← 553.82 m →
306 663 m²		 N 63.040021°
W 18.544922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8934 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448471069335938 y=0.272659301757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448471069335938 × 215)
    floor (0.448471069335938 × 32768)
    floor (14695.5)     		tx = 14695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272659301757812 × 215)
    floor (0.272659301757812 × 32768)
    floor (8934.5)     		ty = 8934
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14695 / 8934 ti = "15/14695/8934"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14695/8934.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14695 ÷ 215
    14695 ÷ 32768     		x = 0.448455810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8934 ÷ 215
    8934 ÷ 32768     		y = 0.27264404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448455810546875 × 2 - 1) × π
    -0.10308837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32386169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27264404296875 × 2 - 1) × π
    0.4547119140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.42851960867767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32386169} λ = -0.32386169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42851960867767))-π/2
    2×atan(4.17251765857401)-π/2
    2×1.33556958570932-π/2
    2.67113917141864-1.57079632675     		φ = 1.10034284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32386169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.555908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10034284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.045001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14695 KachelY 8934 -0.32386169 1.10034284 -18.555908 63.045001
    Oben rechts KachelX + 1 14696 KachelY 8934 -0.32366995 1.10034284 -18.544922 63.045001
    Unten links KachelX 14695 KachelY + 1 8935 -0.32386169 1.10025592 -18.555908 63.040021
    Unten rechts KachelX + 1 14696 KachelY + 1 8935 -0.32366995 1.10025592 -18.544922 63.040021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10034284-1.10025592) × R
    8.69199999999903e-05 × 6371000     		dl = 553.767319999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10034284-1.10025592) × R
    8.69199999999903e-05 × 6371000     		dr = 553.767319999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32386169--0.32366995) × cos(1.10034284) × R
    0.000191739999999996 × 0.453290553242562 × 6371000     		do = 553.72865235417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32386169--0.32366995) × cos(1.10025592) × R
    0.000191739999999996 × 0.453368028786331 × 6371000     		du = 553.823294583385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10034284)-sin(1.10025592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453290553242562-0.453368028786331)×R²
    abs(-0.32366995--0.32386169)×7.74755437684682e-05×R²
    0.000191739999999996×7.74755437684682e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.74755437684682e-05×40589641000000     		ar = 306663.036901505m²