Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14695 / 7509
↖ ↑ ↗
← N 69.329957°
W 18.555908°		 ← 431.20 m → N 69.329957°
W 18.544922°		 →
↑
431.25 m
↓
↑
431.25 m
↓
N 69.326079°
W 18.555908°		 ← 431.28 m →
185 972 m²		 N 69.326079°
W 18.544922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448471069335938 y=0.229171752929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448471069335938 × 215)
    floor (0.448471069335938 × 32768)
    floor (14695.5)     		tx = 14695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229171752929688 × 215)
    floor (0.229171752929688 × 32768)
    floor (7509.5)     		ty = 7509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14695 / 7509 ti = "15/14695/7509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14695/7509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14695 ÷ 215
    14695 ÷ 32768     		x = 0.448455810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7509 ÷ 215
    7509 ÷ 32768     		y = 0.229156494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448455810546875 × 2 - 1) × π
    -0.10308837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32386169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229156494140625 × 2 - 1) × π
    0.54168701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.70175993651199
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32386169} λ = -0.32386169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70175993651199))-π/2
    2×atan(5.48358967402015)-π/2
    2×1.3904161755357-π/2
    2.7808323510714-1.57079632675     		φ = 1.21003602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32386169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.555908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21003602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.329957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14695 KachelY 7509 -0.32386169 1.21003602 -18.555908 69.329957
    Oben rechts KachelX + 1 14696 KachelY 7509 -0.32366995 1.21003602 -18.544922 69.329957
    Unten links KachelX 14695 KachelY + 1 7510 -0.32386169 1.20996833 -18.555908 69.326079
    Unten rechts KachelX + 1 14696 KachelY + 1 7510 -0.32366995 1.20996833 -18.544922 69.326079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21003602-1.20996833) × R
    6.76900000000646e-05 × 6371000     		dl = 431.252990000412m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21003602-1.20996833) × R
    6.76900000000646e-05 × 6371000     		dr = 431.252990000412m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32386169--0.32366995) × cos(1.21003602) × R
    0.000191739999999996 × 0.352985700101951 × 6371000     		do = 431.198697214309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32386169--0.32366995) × cos(1.20996833) × R
    0.000191739999999996 × 0.353049032001057 × 6371000     		du = 431.27606191316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21003602)-sin(1.20996833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352985700101951-0.353049032001057)×R²
    abs(-0.32366995--0.32386169)×6.33318991065113e-05×R²
    0.000191739999999996×6.33318991065113e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.33318991065113e-05×40589641000000     		ar = 185972.409408017m²