Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14695 / 11539
↖ ↑ ↗
← N 46.897739°
W 18.555908°		 ← 834.71 m → N 46.897739°
W 18.544922°		 →
↑
834.79 m
↓
↑
834.79 m
↓
N 46.890232°
W 18.555908°		 ← 834.82 m →
696 855 m²		 N 46.890232°
W 18.544922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448471069335938 y=0.352157592773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448471069335938 × 215)
    floor (0.448471069335938 × 32768)
    floor (14695.5)     		tx = 14695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352157592773438 × 215)
    floor (0.352157592773438 × 32768)
    floor (11539.5)     		ty = 11539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14695 / 11539 ti = "15/14695/11539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14695/11539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14695 ÷ 215
    14695 ÷ 32768     		x = 0.448455810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11539 ÷ 215
    11539 ÷ 32768     		y = 0.352142333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448455810546875 × 2 - 1) × π
    -0.10308837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32386169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352142333984375 × 2 - 1) × π
    0.29571533203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.929017114636688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32386169} λ = -0.32386169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.929017114636688))-π/2
    2×atan(2.53201926949157)-π/2
    2×1.19465814278004-π/2
    2.38931628556008-1.57079632675     		φ = 0.81851996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32386169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.555908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81851996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.897739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14695 KachelY 11539 -0.32386169 0.81851996 -18.555908 46.897739
    Oben rechts KachelX + 1 14696 KachelY 11539 -0.32366995 0.81851996 -18.544922 46.897739
    Unten links KachelX 14695 KachelY + 1 11540 -0.32386169 0.81838893 -18.555908 46.890232
    Unten rechts KachelX + 1 14696 KachelY + 1 11540 -0.32366995 0.81838893 -18.544922 46.890232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81851996-0.81838893) × R
    0.000131030000000032 × 6371000     		dl = 834.792130000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81851996-0.81838893) × R
    0.000131030000000032 × 6371000     		dr = 834.792130000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32386169--0.32366995) × cos(0.81851996) × R
    0.000191739999999996 × 0.683302584757456 × 6371000     		do = 834.705723958466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32386169--0.32366995) × cos(0.81838893) × R
    0.000191739999999996 × 0.683398248521694 × 6371000     		du = 834.822584472924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81851996)-sin(0.81838893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683302584757456-0.683398248521694)×R²
    abs(-0.32366995--0.32386169)×9.56637642381963e-05×R²
    0.000191739999999996×9.56637642381963e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.56637642381963e-05×40589641000000     		ar = 696854.547342336m²