Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14693 / 7828
↖ ↑ ↗
← N 68.056889°
W 18.577881°		 ← 456.51 m → N 68.056889°
W 18.566894°		 →
↑
456.55 m
↓
↑
456.55 m
↓
N 68.052783°
W 18.577881°		 ← 456.59 m →
208 436 m²		 N 68.052783°
W 18.566894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448410034179688 y=0.238906860351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448410034179688 × 215)
    floor (0.448410034179688 × 32768)
    floor (14693.5)     		tx = 14693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238906860351562 × 215)
    floor (0.238906860351562 × 32768)
    floor (7828.5)     		ty = 7828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14693 / 7828 ti = "15/14693/7828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14693/7828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14693 ÷ 215
    14693 ÷ 32768     		x = 0.448394775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7828 ÷ 215
    7828 ÷ 32768     		y = 0.2388916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448394775390625 × 2 - 1) × π
    -0.10321044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32424519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2388916015625 × 2 - 1) × π
    0.522216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.6405924525968
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32424519} λ = -0.32424519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6405924525968))-π/2
    2×atan(5.15822461071031)-π/2
    2×1.37930655786133-π/2
    2.75861311572265-1.57079632675     		φ = 1.18781679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32424519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.577881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18781679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.056889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14693 KachelY 7828 -0.32424519 1.18781679 -18.577881 68.056889
    Oben rechts KachelX + 1 14694 KachelY 7828 -0.32405344 1.18781679 -18.566894 68.056889
    Unten links KachelX 14693 KachelY + 1 7829 -0.32424519 1.18774513 -18.577881 68.052783
    Unten rechts KachelX + 1 14694 KachelY + 1 7829 -0.32405344 1.18774513 -18.566894 68.052783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18781679-1.18774513) × R
    7.16600000001399e-05 × 6371000     		dl = 456.545860000892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18781679-1.18774513) × R
    7.16600000001399e-05 × 6371000     		dr = 456.545860000892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32424519--0.32405344) × cos(1.18781679) × R
    0.000191749999999991 × 0.373685809322857 × 6371000     		do = 456.509251836796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32424519--0.32405344) × cos(1.18774513) × R
    0.000191749999999991 × 0.373752276979273 × 6371000     		du = 456.590451334729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18781679)-sin(1.18774513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373685809322857-0.373752276979273)×R²
    abs(-0.32405344--0.32424519)×6.64676564163802e-05×R²
    0.000191749999999991×6.64676564163802e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.64676564163802e-05×40589641000000     		ar = 208435.944714928m²