Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14692 / 7829
↖ ↑ ↗
← N 68.052783°
W 18.588867°		 ← 456.59 m → N 68.052783°
W 18.577881°		 →
↑
456.61 m
↓
↑
456.61 m
↓
N 68.048677°
W 18.588867°		 ← 456.67 m →
208 502 m²		 N 68.048677°
W 18.577881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448379516601562 y=0.238937377929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448379516601562 × 215)
    floor (0.448379516601562 × 32768)
    floor (14692.5)     		tx = 14692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238937377929688 × 215)
    floor (0.238937377929688 × 32768)
    floor (7829.5)     		ty = 7829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14692 / 7829 ti = "15/14692/7829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14692/7829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14692 ÷ 215
    14692 ÷ 32768     		x = 0.4483642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7829 ÷ 215
    7829 ÷ 32768     		y = 0.238922119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4483642578125 × 2 - 1) × π
    -0.103271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32443694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.238922119140625 × 2 - 1) × π
    0.52215576171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.64040070499832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32443694} λ = -0.32443694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64040070499832))-π/2
    2×atan(5.15723562834931)-π/2
    2×1.37927072799681-π/2
    2.75854145599361-1.57079632675     		φ = 1.18774513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32443694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.588867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18774513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.052783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14692 KachelY 7829 -0.32443694 1.18774513 -18.588867 68.052783
    Oben rechts KachelX + 1 14693 KachelY 7829 -0.32424519 1.18774513 -18.577881 68.052783
    Unten links KachelX 14692 KachelY + 1 7830 -0.32443694 1.18767346 -18.588867 68.048677
    Unten rechts KachelX + 1 14693 KachelY + 1 7830 -0.32424519 1.18767346 -18.577881 68.048677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18774513-1.18767346) × R
    7.16699999998571e-05 × 6371000     		dl = 456.60956999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18774513-1.18767346) × R
    7.16699999998571e-05 × 6371000     		dr = 456.60956999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32443694--0.32424519) × cos(1.18774513) × R
    0.000191749999999991 × 0.373752276979273 × 6371000     		do = 456.590451334729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32443694--0.32424519) × cos(1.18767346) × R
    0.000191749999999991 × 0.373818751991431 × 6371000     		du = 456.671659818725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18774513)-sin(1.18767346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373752276979273-0.373818751991431)×R²
    abs(-0.32424519--0.32443694)×6.64750121577296e-05×R²
    0.000191749999999991×6.64750121577296e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.64750121577296e-05×40589641000000     		ar = 208502.110023746m²