Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14691 / 7810
↖ ↑ ↗
← N 68.130669°
W 18.599853°		 ← 455.03 m → N 68.130669°
W 18.588867°		 →
↑
455.08 m
↓
↑
455.08 m
↓
N 68.126576°
W 18.599853°		 ← 455.11 m →
207 092 m²		 N 68.126576°
W 18.588867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448348999023438 y=0.238357543945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448348999023438 × 215)
    floor (0.448348999023438 × 32768)
    floor (14691.5)     		tx = 14691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238357543945312 × 215)
    floor (0.238357543945312 × 32768)
    floor (7810.5)     		ty = 7810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14691 / 7810 ti = "15/14691/7810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14691/7810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14691 ÷ 215
    14691 ÷ 32768     		x = 0.448333740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7810 ÷ 215
    7810 ÷ 32768     		y = 0.23834228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448333740234375 × 2 - 1) × π
    -0.10333251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32462868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23834228515625 × 2 - 1) × π
    0.5233154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.64404390936945
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32462868} λ = -0.32462868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64404390936945))-π/2
    2×atan(5.17605875916982)-π/2
    2×1.37995040672908-π/2
    2.75990081345816-1.57079632675     		φ = 1.18910449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32462868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.599853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18910449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.130669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14691 KachelY 7810 -0.32462868 1.18910449 -18.599853 68.130669
    Oben rechts KachelX + 1 14692 KachelY 7810 -0.32443694 1.18910449 -18.588867 68.130669
    Unten links KachelX 14691 KachelY + 1 7811 -0.32462868 1.18903306 -18.599853 68.126576
    Unten rechts KachelX + 1 14692 KachelY + 1 7811 -0.32443694 1.18903306 -18.588867 68.126576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18910449-1.18903306) × R
    7.14299999999835e-05 × 6371000     		dl = 455.080529999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18910449-1.18903306) × R
    7.14299999999835e-05 × 6371000     		dr = 455.080529999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32462868--0.32443694) × cos(1.18910449) × R
    0.000191739999999996 × 0.37249108681917 × 6371000     		do = 455.026000526305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32462868--0.32443694) × cos(1.18903306) × R
    0.000191739999999996 × 0.372557375463888 × 6371000     		du = 455.106977113272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18910449)-sin(1.18903306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37249108681917-0.372557375463888)×R²
    abs(-0.32443694--0.32462868)×6.62886447181932e-05×R²
    0.000191739999999996×6.62886447181932e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.62886447181932e-05×40589641000000     		ar = 207091.899005451m²