Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14690 / 7826
↖ ↑ ↗
← N 68.065098°
W 18.610840°		 ← 456.35 m → N 68.065098°
W 18.599853°		 →
↑
456.35 m
↓
↑
456.35 m
↓
N 68.060994°
W 18.610840°		 ← 456.43 m →
208 275 m²		 N 68.060994°
W 18.599853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448318481445312 y=0.238845825195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448318481445312 × 215)
    floor (0.448318481445312 × 32768)
    floor (14690.5)     		tx = 14690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238845825195312 × 215)
    floor (0.238845825195312 × 32768)
    floor (7826.5)     		ty = 7826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14690 / 7826 ti = "15/14690/7826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14690/7826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14690 ÷ 215
    14690 ÷ 32768     		x = 0.44830322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7826 ÷ 215
    7826 ÷ 32768     		y = 0.23883056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44830322265625 × 2 - 1) × π
    -0.1033935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32482043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23883056640625 × 2 - 1) × π
    0.5223388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.64097594779376
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32482043} λ = -0.32482043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64097594779376))-π/2
    2×atan(5.1602031444282)-π/2
    2×1.37937819847529-π/2
    2.75875639695058-1.57079632675     		φ = 1.18796007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32482043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.610840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18796007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.065098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14690 KachelY 7826 -0.32482043 1.18796007 -18.610840 68.065098
    Oben rechts KachelX + 1 14691 KachelY 7826 -0.32462868 1.18796007 -18.599853 68.065098
    Unten links KachelX 14690 KachelY + 1 7827 -0.32482043 1.18788844 -18.610840 68.060994
    Unten rechts KachelX + 1 14691 KachelY + 1 7827 -0.32462868 1.18788844 -18.599853 68.060994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18796007-1.18788844) × R
    7.16299999998782e-05 × 6371000     		dl = 456.354729999224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18796007-1.18788844) × R
    7.16299999998782e-05 × 6371000     		dr = 456.354729999224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32482043--0.32462868) × cos(1.18796007) × R
    0.000191749999999991 × 0.373552905357917 × 6371000     		do = 456.346891136744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32482043--0.32462868) × cos(1.18788844) × R
    0.000191749999999991 × 0.373619349023327 × 6371000     		du = 456.428061326323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18796007)-sin(1.18788844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373552905357917-0.373619349023327)×R²
    abs(-0.32462868--0.32482043)×6.64436654101985e-05×R²
    0.000191749999999991×6.64436654101985e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.64436654101985e-05×40589641000000     		ar = 208274.583580233m²