Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 14690 / 14756
↖ ↑ ↗
← N 69.832048°
W 99.305420°		 ← 210.58 m → N 69.832048°
W 99.299927°		 →
↑
210.63 m
↓
↑
210.63 m
↓
N 69.830154°
W 99.305420°		 ← 210.60 m →
44 356 m²		 N 69.830154°
W 99.299927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.224159240722656 y=0.225166320800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.224159240722656 × 216)
    floor (0.224159240722656 × 65536)
    floor (14690.5)     		tx = 14690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225166320800781 × 216)
    floor (0.225166320800781 × 65536)
    floor (14756.5)     		ty = 14756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14690 / 14756 ti = "16/14690/14756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14690/14756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14690 ÷ 216
    14690 ÷ 65536     		x = 0.224151611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14756 ÷ 216
    14756 ÷ 65536     		y = 0.22515869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.224151611328125 × 2 - 1) × π
    -0.55169677734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.73320654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22515869140625 × 2 - 1) × π
    0.5496826171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.7268788719129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73320654} λ = -1.73320654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7268788719129))-π/2
    2×atan(5.6230761505714)-π/2
    2×1.39479774145818-π/2
    2.78959548291636-1.57079632675     		φ = 1.21879916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73320654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.305420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21879916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.832048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14690 KachelY 14756 -1.73320654 1.21879916 -99.305420 69.832048
    Oben rechts KachelX + 1 14691 KachelY 14756 -1.73311067 1.21879916 -99.299927 69.832048
    Unten links KachelX 14690 KachelY + 1 14757 -1.73320654 1.21876610 -99.305420 69.830154
    Unten rechts KachelX + 1 14691 KachelY + 1 14757 -1.73311067 1.21876610 -99.299927 69.830154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21879916-1.21876610) × R
    3.30600000000292e-05 × 6371000     		dl = 210.625260000186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21879916-1.21876610) × R
    3.30600000000292e-05 × 6371000     		dr = 210.625260000186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73320654--1.73311067) × cos(1.21879916) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344773206344636 × 6371000     		do = 210.583257858986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73320654--1.73311067) × cos(1.21876610) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.3448042391159 × 6371000     		du = 210.602212296142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21879916)-sin(1.21876610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344773206344636-0.3448042391159)×R²
    abs(-1.73311067--1.73320654)×3.10327712631508e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.10327712631508e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.10327712631508e-05×40589641000000     		ar = 44356.1495839628m²