Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14689 / 11393
↖ ↑ ↗
← N 47.982568°
W 18.621826°		 ← 817.71 m → N 47.982568°
W 18.610840°		 →
↑
817.72 m
↓
↑
817.72 m
↓
N 47.975214°
W 18.621826°		 ← 817.83 m →
668 706 m²		 N 47.975214°
W 18.610840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448287963867188 y=0.347702026367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448287963867188 × 215)
    floor (0.448287963867188 × 32768)
    floor (14689.5)     		tx = 14689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347702026367188 × 215)
    floor (0.347702026367188 × 32768)
    floor (11393.5)     		ty = 11393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14689 / 11393 ti = "15/14689/11393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14689/11393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14689 ÷ 215
    14689 ÷ 32768     		x = 0.448272705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11393 ÷ 215
    11393 ÷ 32768     		y = 0.347686767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448272705078125 × 2 - 1) × π
    -0.10345458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32501218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347686767578125 × 2 - 1) × π
    0.30462646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.957012264014801
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32501218} λ = -0.32501218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.957012264014801))-π/2
    2×atan(2.60390505902752)-π/2
    2×1.20412506462766-π/2
    2.40825012925532-1.57079632675     		φ = 0.83745380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32501218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.621826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83745380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.982568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14689 KachelY 11393 -0.32501218 0.83745380 -18.621826 47.982568
    Oben rechts KachelX + 1 14690 KachelY 11393 -0.32482043 0.83745380 -18.610840 47.982568
    Unten links KachelX 14689 KachelY + 1 11394 -0.32501218 0.83732545 -18.621826 47.975214
    Unten rechts KachelX + 1 14690 KachelY + 1 11394 -0.32482043 0.83732545 -18.610840 47.975214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83745380-0.83732545) × R
    0.000128349999999999 × 6371000     		dl = 817.717849999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83745380-0.83732545) × R
    0.000128349999999999 × 6371000     		dr = 817.717849999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32501218--0.32482043) × cos(0.83745380) × R
    0.000191749999999991 × 0.669356670480249 × 6371000     		do = 817.712380907948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32501218--0.32482043) × cos(0.83732545) × R
    0.000191749999999991 × 0.669452021471425 × 6371000     		du = 817.828865421296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83745380)-sin(0.83732545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669356670480249-0.669452021471425)×R²
    abs(-0.32482043--0.32501218)×9.53509911764128e-05×R²
    0.000191749999999991×9.53509911764128e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.53509911764128e-05×40589641000000     		ar = 668705.636685009m²