Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14688 / 21498
↖ ↑ ↗
← S 48.879167°
W 18.632813°		 ← 803.41 m → S 48.879167°
W 18.621826°		 →
↑
803.38 m
↓
↑
803.38 m
↓
S 48.886392°
W 18.632813°		 ← 803.29 m →
645 399 m²		 S 48.886392°
W 18.621826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448257446289062 y=0.656082153320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448257446289062 × 215)
    floor (0.448257446289062 × 32768)
    floor (14688.5)     		tx = 14688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656082153320312 × 215)
    floor (0.656082153320312 × 32768)
    floor (21498.5)     		ty = 21498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14688 / 21498 ti = "15/14688/21498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14688/21498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14688 ÷ 215
    14688 ÷ 32768     		x = 0.4482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21498 ÷ 215
    21498 ÷ 32768     		y = 0.65606689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4482421875 × 2 - 1) × π
    -0.103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32520393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65606689453125 × 2 - 1) × π
    -0.3121337890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.980597218627869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32520393} λ = -0.32520393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.980597218627869))-π/2
    2×atan(0.375087022989719)-π/2
    2×0.358846962215662-π/2
    0.717693924431324-1.57079632675     		φ = -0.85310240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32520393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.632813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85310240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.879167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14688 KachelY 21498 -0.32520393 -0.85310240 -18.632813 -48.879167
    Oben rechts KachelX + 1 14689 KachelY 21498 -0.32501218 -0.85310240 -18.621826 -48.879167
    Unten links KachelX 14688 KachelY + 1 21499 -0.32520393 -0.85322850 -18.632813 -48.886392
    Unten rechts KachelX + 1 14689 KachelY + 1 21499 -0.32501218 -0.85322850 -18.621826 -48.886392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85310240--0.85322850) × R
    0.000126099999999907 × 6371000     		dl = 803.383099999406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85310240--0.85322850) × R
    0.000126099999999907 × 6371000     		dr = 803.383099999406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32520393--0.32501218) × cos(-0.85310240) × R
    0.000191749999999991 × 0.657649201166332 × 6371000     		do = 803.410076875898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32520393--0.32501218) × cos(-0.85322850) × R
    0.000191749999999991 × 0.657554201741365 × 6371000     		du = 803.294021849631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85310240)-sin(-0.85322850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657649201166332-0.657554201741365)×R²
    abs(-0.32501218--0.32520393)×9.4999424966713e-05×R²
    0.000191749999999991×9.4999424966713e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.4999424966713e-05×40589641000000     		ar = 645399.460663676m²