Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14688 / 21480
↖ ↑ ↗
← S 48.748945°
W 18.632813°		 ← 805.50 m → S 48.748945°
W 18.621826°		 →
↑
805.42 m
↓
↑
805.42 m
↓
S 48.756188°
W 18.632813°		 ← 805.38 m →
648 720 m²		 S 48.756188°
W 18.621826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448257446289062 y=0.655532836914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448257446289062 × 215)
    floor (0.448257446289062 × 32768)
    floor (14688.5)     		tx = 14688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655532836914062 × 215)
    floor (0.655532836914062 × 32768)
    floor (21480.5)     		ty = 21480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14688 / 21480 ti = "15/14688/21480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14688/21480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14688 ÷ 215
    14688 ÷ 32768     		x = 0.4482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21480 ÷ 215
    21480 ÷ 32768     		y = 0.655517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4482421875 × 2 - 1) × π
    -0.103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32520393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655517578125 × 2 - 1) × π
    -0.31103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.977145761855225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32520393} λ = -0.32520393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.977145761855225))-π/2
    2×atan(0.376383856330273)-π/2
    2×0.359983361847825-π/2
    0.719966723695649-1.57079632675     		φ = -0.85082960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32520393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.632813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85082960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.748945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14688 KachelY 21480 -0.32520393 -0.85082960 -18.632813 -48.748945
    Oben rechts KachelX + 1 14689 KachelY 21480 -0.32501218 -0.85082960 -18.621826 -48.748945
    Unten links KachelX 14688 KachelY + 1 21481 -0.32520393 -0.85095602 -18.632813 -48.756188
    Unten rechts KachelX + 1 14689 KachelY + 1 21481 -0.32501218 -0.85095602 -18.621826 -48.756188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85082960--0.85095602) × R
    0.000126420000000071 × 6371000     		dl = 805.421820000455m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85082960--0.85095602) × R
    0.000126420000000071 × 6371000     		dr = 805.421820000455m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32520393--0.32501218) × cos(-0.85082960) × R
    0.000191749999999991 × 0.65935965662025 × 6371000     		do = 805.49963639378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32520393--0.32501218) × cos(-0.85095602) × R
    0.000191749999999991 × 0.659264605297694 × 6371000     		du = 805.383517967382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85082960)-sin(-0.85095602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65935965662025-0.659264605297694)×R²
    abs(-0.32501218--0.32520393)×9.5051322555384e-05×R²
    0.000191749999999991×9.5051322555384e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.5051322555384e-05×40589641000000     		ar = 648720.221861349m²