Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14687 / 21482
↖ ↑ ↗
← S 48.763431°
W 18.643799°		 ← 805.23 m → S 48.763431°
W 18.632813°		 →
↑
805.17 m
↓
↑
805.17 m
↓
S 48.770672°
W 18.643799°		 ← 805.11 m →
648 294 m²		 S 48.770672°
W 18.632813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448226928710938 y=0.655593872070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448226928710938 × 215)
    floor (0.448226928710938 × 32768)
    floor (14687.5)     		tx = 14687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655593872070312 × 215)
    floor (0.655593872070312 × 32768)
    floor (21482.5)     		ty = 21482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14687 / 21482 ti = "15/14687/21482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14687/21482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14687 ÷ 215
    14687 ÷ 32768     		x = 0.448211669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21482 ÷ 215
    21482 ÷ 32768     		y = 0.65557861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448211669921875 × 2 - 1) × π
    -0.10357666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32539567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65557861328125 × 2 - 1) × π
    -0.3111572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.977529257052185
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32539567} λ = -0.32539567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.977529257052185))-π/2
    2×atan(0.376239542602736)-π/2
    2×0.35985694944356-π/2
    0.71971389888712-1.57079632675     		φ = -0.85108243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32539567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.643799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85108243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.763431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14687 KachelY 21482 -0.32539567 -0.85108243 -18.643799 -48.763431
    Oben rechts KachelX + 1 14688 KachelY 21482 -0.32520393 -0.85108243 -18.632813 -48.763431
    Unten links KachelX 14687 KachelY + 1 21483 -0.32539567 -0.85120881 -18.643799 -48.770672
    Unten rechts KachelX + 1 14688 KachelY + 1 21483 -0.32520393 -0.85120881 -18.632813 -48.770672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85108243--0.85120881) × R
    0.000126380000000093 × 6371000     		dl = 805.16698000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85108243--0.85120881) × R
    0.000126380000000093 × 6371000     		dr = 805.16698000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32539567--0.32520393) × cos(-0.85108243) × R
    0.000191740000000051 × 0.659169550958705 × 6371000     		do = 805.225400164153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32539567--0.32520393) × cos(-0.85120881) × R
    0.000191740000000051 × 0.659074508648853 × 6371000     		du = 805.109298803173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85108243)-sin(-0.85120881))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659169550958705-0.659074508648853)×R²
    abs(-0.32520393--0.32539567)×9.50423098518005e-05×R²
    0.000191740000000051×9.50423098518005e-05×6371000²
    0.000191740000000051×9.50423098518005e-05×40589641000000     		ar = 648294.16404175m²