Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14686 / 7846
↖ ↑ ↗
← N 67.982872°
W 18.654785°		 ← 457.97 m → N 67.982872°
W 18.643799°		 →
↑
458.01 m
↓
↑
458.01 m
↓
N 67.978754°
W 18.654785°		 ← 458.05 m →
209 775 m²		 N 67.978754°
W 18.643799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7846 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448196411132812 y=0.239456176757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448196411132812 × 215)
    floor (0.448196411132812 × 32768)
    floor (14686.5)     		tx = 14686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.239456176757812 × 215)
    floor (0.239456176757812 × 32768)
    floor (7846.5)     		ty = 7846
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14686 / 7846 ti = "15/14686/7846"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14686/7846.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14686 ÷ 215
    14686 ÷ 32768     		x = 0.44818115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7846 ÷ 215
    7846 ÷ 32768     		y = 0.23944091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44818115234375 × 2 - 1) × π
    -0.1036376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32558742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23944091796875 × 2 - 1) × π
    0.5211181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.63714099582416
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32558742} λ = -0.32558742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63714099582416))-π/2
    2×atan(5.14045190994026)-π/2
    2×1.37866064446266-π/2
    2.75732128892532-1.57079632675     		φ = 1.18652496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32558742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.654785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18652496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.982872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14686 KachelY 7846 -0.32558742 1.18652496 -18.654785 67.982872
    Oben rechts KachelX + 1 14687 KachelY 7846 -0.32539567 1.18652496 -18.643799 67.982872
    Unten links KachelX 14686 KachelY + 1 7847 -0.32558742 1.18645307 -18.654785 67.978754
    Unten rechts KachelX + 1 14687 KachelY + 1 7847 -0.32539567 1.18645307 -18.643799 67.978754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18652496-1.18645307) × R
    7.18900000000744e-05 × 6371000     		dl = 458.011190000474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18652496-1.18645307) × R
    7.18900000000744e-05 × 6371000     		dr = 458.011190000474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32558742--0.32539567) × cos(1.18652496) × R
    0.000191749999999991 × 0.37488374100141 × 6371000     		do = 457.972692194135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32558742--0.32539567) × cos(1.18645307) × R
    0.000191749999999991 × 0.374950387226587 × 6371000     		du = 458.054109838674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18652496)-sin(1.18645307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37488374100141-0.374950387226587)×R²
    abs(-0.32539567--0.32558742)×6.66462251762701e-05×R²
    0.000191749999999991×6.66462251762701e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.66462251762701e-05×40589641000000     		ar = 209775.262925931m²