Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14686 / 7839
↖ ↑ ↗
← N 68.011685°
W 18.654785°		 ← 457.40 m → N 68.011685°
W 18.643799°		 →
↑
457.44 m
↓
↑
457.44 m
↓
N 68.007571°
W 18.654785°		 ← 457.48 m →
209 252 m²		 N 68.007571°
W 18.643799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448196411132812 y=0.239242553710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448196411132812 × 215)
    floor (0.448196411132812 × 32768)
    floor (14686.5)     		tx = 14686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.239242553710938 × 215)
    floor (0.239242553710938 × 32768)
    floor (7839.5)     		ty = 7839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14686 / 7839 ti = "15/14686/7839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14686/7839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14686 ÷ 215
    14686 ÷ 32768     		x = 0.44818115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7839 ÷ 215
    7839 ÷ 32768     		y = 0.239227294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44818115234375 × 2 - 1) × π
    -0.1036376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32558742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.239227294921875 × 2 - 1) × π
    0.52154541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.63848322901352
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32558742} λ = -0.32558742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63848322901352))-π/2
    2×atan(5.14735622766774)-π/2
    2×1.37891207868229-π/2
    2.75782415736458-1.57079632675     		φ = 1.18702783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32558742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.654785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18702783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.011685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14686 KachelY 7839 -0.32558742 1.18702783 -18.654785 68.011685
    Oben rechts KachelX + 1 14687 KachelY 7839 -0.32539567 1.18702783 -18.643799 68.011685
    Unten links KachelX 14686 KachelY + 1 7840 -0.32558742 1.18695603 -18.654785 68.007571
    Unten rechts KachelX + 1 14687 KachelY + 1 7840 -0.32539567 1.18695603 -18.643799 68.007571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18702783-1.18695603) × R
    7.17999999999552e-05 × 6371000     		dl = 457.437799999715m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18702783-1.18695603) × R
    7.17999999999552e-05 × 6371000     		dr = 457.437799999715m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32558742--0.32539567) × cos(1.18702783) × R
    0.000191749999999991 × 0.374417497009192 × 6371000     		do = 457.403110233163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32558742--0.32539567) × cos(1.18695603) × R
    0.000191749999999991 × 0.374484073328689 × 6371000     		du = 457.484442478182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18702783)-sin(1.18695603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374417497009192-0.374484073328689)×R²
    abs(-0.32539567--0.32558742)×6.65763194976354e-05×R²
    0.000191749999999991×6.65763194976354e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.65763194976354e-05×40589641000000     		ar = 209252.074769386m²