Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14684 / 7830
↖ ↑ ↗
← N 68.048677°
W 18.676758°		 ← 456.67 m → N 68.048677°
W 18.665771°		 →
↑
456.74 m
↓
↑
456.74 m
↓
N 68.044569°
W 18.676758°		 ← 456.75 m →
208 597 m²		 N 68.044569°
W 18.665771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448135375976562 y=0.238967895507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448135375976562 × 215)
    floor (0.448135375976562 × 32768)
    floor (14684.5)     		tx = 14684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238967895507812 × 215)
    floor (0.238967895507812 × 32768)
    floor (7830.5)     		ty = 7830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14684 / 7830 ti = "15/14684/7830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14684/7830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14684 ÷ 215
    14684 ÷ 32768     		x = 0.4481201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7830 ÷ 215
    7830 ÷ 32768     		y = 0.23895263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4481201171875 × 2 - 1) × π
    -0.103759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32597092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23895263671875 × 2 - 1) × π
    0.5220947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.64020895739984
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32597092} λ = -0.32597092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64020895739984))-π/2
    2×atan(5.15624683560512)-π/2
    2×1.37923489175933-π/2
    2.75846978351866-1.57079632675     		φ = 1.18767346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32597092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.676758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18767346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.048677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14684 KachelY 7830 -0.32597092 1.18767346 -18.676758 68.048677
    Oben rechts KachelX + 1 14685 KachelY 7830 -0.32577917 1.18767346 -18.665771 68.048677
    Unten links KachelX 14684 KachelY + 1 7831 -0.32597092 1.18760177 -18.676758 68.044569
    Unten rechts KachelX + 1 14685 KachelY + 1 7831 -0.32577917 1.18760177 -18.665771 68.044569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18767346-1.18760177) × R
    7.16900000001797e-05 × 6371000     		dl = 456.736990001145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18767346-1.18760177) × R
    7.16900000001797e-05 × 6371000     		dr = 456.736990001145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32597092--0.32577917) × cos(1.18767346) × R
    0.000191749999999991 × 0.373818751991431 × 6371000     		do = 456.671659818725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32597092--0.32577917) × cos(1.18760177) × R
    0.000191749999999991 × 0.373885243632936 × 6371000     		du = 456.752888617784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18767346)-sin(1.18760177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373818751991431-0.373885243632936)×R²
    abs(-0.32577917--0.32597092)×6.64916415043515e-05×R²
    0.000191749999999991×6.64916415043515e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.64916415043515e-05×40589641000000     		ar = 208597.389512899m²