Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14683 / 9794
↖ ↑ ↗
← N 58.436233°
W 18.687744°		 ← 639.46 m → N 58.436233°
W 18.676758°		 →
↑
639.52 m
↓
↑
639.52 m
↓
N 58.430482°
W 18.687744°		 ← 639.57 m →
408 984 m²		 N 58.430482°
W 18.676758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448104858398438 y=0.298904418945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448104858398438 × 215)
    floor (0.448104858398438 × 32768)
    floor (14683.5)     		tx = 14683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298904418945312 × 215)
    floor (0.298904418945312 × 32768)
    floor (9794.5)     		ty = 9794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14683 / 9794 ti = "15/14683/9794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14683/9794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14683 ÷ 215
    14683 ÷ 32768     		x = 0.448089599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9794 ÷ 215
    9794 ÷ 32768     		y = 0.29888916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448089599609375 × 2 - 1) × π
    -0.10382080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32616267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29888916015625 × 2 - 1) × π
    0.4022216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.26361667398468
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32616267} λ = -0.32616267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26361667398468))-π/2
    2×atan(3.53819487220475)-π/2
    2×1.29535049892261-π/2
    2.59070099784522-1.57079632675     		φ = 1.01990467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32616267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.687744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01990467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.436233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14683 KachelY 9794 -0.32616267 1.01990467 -18.687744 58.436233
    Oben rechts KachelX + 1 14684 KachelY 9794 -0.32597092 1.01990467 -18.676758 58.436233
    Unten links KachelX 14683 KachelY + 1 9795 -0.32616267 1.01980429 -18.687744 58.430482
    Unten rechts KachelX + 1 14684 KachelY + 1 9795 -0.32597092 1.01980429 -18.676758 58.430482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01990467-1.01980429) × R
    0.000100380000000122 × 6371000     		dl = 639.520980000778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01990467-1.01980429) × R
    0.000100380000000122 × 6371000     		dr = 639.520980000778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32616267--0.32597092) × cos(1.01990467) × R
    0.000191749999999991 × 0.523447180331134 × 6371000     		do = 639.46362079431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32616267--0.32597092) × cos(1.01980429) × R
    0.000191749999999991 × 0.523532707288474 × 6371000     		du = 639.568103882329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01990467)-sin(1.01980429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.523447180331134-0.523532707288474)×R²
    abs(-0.32597092--0.32616267)×8.55269573396544e-05×R²
    0.000191749999999991×8.55269573396544e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.55269573396544e-05×40589641000000     		ar = 408983.811352168m²