Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14683 / 9441
↖ ↑ ↗
← N 60.408428°
W 18.687744°		 ← 603.26 m → N 60.408428°
W 18.676758°		 →
↑
603.33 m
↓
↑
603.33 m
↓
N 60.403002°
W 18.687744°		 ← 603.36 m →
363 999 m²		 N 60.403002°
W 18.676758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448104858398438 y=0.288131713867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448104858398438 × 215)
    floor (0.448104858398438 × 32768)
    floor (14683.5)     		tx = 14683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288131713867188 × 215)
    floor (0.288131713867188 × 32768)
    floor (9441.5)     		ty = 9441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14683 / 9441 ti = "15/14683/9441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14683/9441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14683 ÷ 215
    14683 ÷ 32768     		x = 0.448089599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9441 ÷ 215
    9441 ÷ 32768     		y = 0.288116455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448089599609375 × 2 - 1) × π
    -0.10382080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32616267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288116455078125 × 2 - 1) × π
    0.42376708984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.3313035762482
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32616267} λ = -0.32616267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3313035762482))-π/2
    2×atan(3.78597547990301)-π/2
    2×1.31256114217835-π/2
    2.62512228435671-1.57079632675     		φ = 1.05432596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32616267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.687744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05432596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.408428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14683 KachelY 9441 -0.32616267 1.05432596 -18.687744 60.408428
    Oben rechts KachelX + 1 14684 KachelY 9441 -0.32597092 1.05432596 -18.676758 60.408428
    Unten links KachelX 14683 KachelY + 1 9442 -0.32616267 1.05423126 -18.687744 60.403002
    Unten rechts KachelX + 1 14684 KachelY + 1 9442 -0.32597092 1.05423126 -18.676758 60.403002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05432596-1.05423126) × R
    9.47000000000031e-05 × 6371000     		dl = 603.33370000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05432596-1.05423126) × R
    9.47000000000031e-05 × 6371000     		dr = 603.33370000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32616267--0.32597092) × cos(1.05432596) × R
    0.000191749999999991 × 0.493813965670936 × 6371000     		do = 603.262522661739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32616267--0.32597092) × cos(1.05423126) × R
    0.000191749999999991 × 0.493896311505872 × 6371000     		du = 603.36311956577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05432596)-sin(1.05423126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.493813965670936-0.493896311505872)×R²
    abs(-0.32597092--0.32616267)×8.23458349353823e-05×R²
    0.000191749999999991×8.23458349353823e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.23458349353823e-05×40589641000000     		ar = 363998.956891966m²