Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14683 / 7328
↖ ↑ ↗
← N 70.020587°
W 18.687744°		 ← 417.41 m → N 70.020587°
W 18.676758°		 →
↑
417.43 m
↓
↑
417.43 m
↓
N 70.016833°
W 18.687744°		 ← 417.49 m →
174 255 m²		 N 70.016833°
W 18.676758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448104858398438 y=0.223648071289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448104858398438 × 215)
    floor (0.448104858398438 × 32768)
    floor (14683.5)     		tx = 14683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223648071289062 × 215)
    floor (0.223648071289062 × 32768)
    floor (7328.5)     		ty = 7328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14683 / 7328 ti = "15/14683/7328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14683/7328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14683 ÷ 215
    14683 ÷ 32768     		x = 0.448089599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7328 ÷ 215
    7328 ÷ 32768     		y = 0.2236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448089599609375 × 2 - 1) × π
    -0.10382080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32616267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2236328125 × 2 - 1) × π
    0.552734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.73646625183691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32616267} λ = -0.32616267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73646625183691))-π/2
    2×atan(5.67724597638829)-π/2
    2×1.39644305968672-π/2
    2.79288611937344-1.57079632675     		φ = 1.22208979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32616267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.687744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22208979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.020587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14683 KachelY 7328 -0.32616267 1.22208979 -18.687744 70.020587
    Oben rechts KachelX + 1 14684 KachelY 7328 -0.32597092 1.22208979 -18.676758 70.020587
    Unten links KachelX 14683 KachelY + 1 7329 -0.32616267 1.22202427 -18.687744 70.016833
    Unten rechts KachelX + 1 14684 KachelY + 1 7329 -0.32597092 1.22202427 -18.676758 70.016833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22208979-1.22202427) × R
    6.55200000001521e-05 × 6371000     		dl = 417.427920000969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22208979-1.22202427) × R
    6.55200000001521e-05 × 6371000     		dr = 417.427920000969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32616267--0.32597092) × cos(1.22208979) × R
    0.000191749999999991 × 0.341682476912264 × 6371000     		do = 417.412724833221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32616267--0.32597092) × cos(1.22202427) × R
    0.000191749999999991 × 0.341744052887277 × 6371000     		du = 417.487948461152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22208979)-sin(1.22202427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341682476912264-0.341744052887277)×R²
    abs(-0.32597092--0.32616267)×6.15759750120515e-05×R²
    0.000191749999999991×6.15759750120515e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.15759750120515e-05×40589641000000     		ar = 174255.425793109m²