Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14683 / 14750
↖ ↑ ↗
← N 69.843408°
W 99.343872°		 ← 210.47 m → N 69.843408°
W 99.338379°		 →
↑
210.50 m
↓
↑
210.50 m
↓
N 69.841515°
W 99.343872°		 ← 210.49 m →
44 305 m²		 N 69.841515°
W 99.338379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.224052429199219 y=0.225074768066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.224052429199219 × 216)
    floor (0.224052429199219 × 65536)
    floor (14683.5)     		tx = 14683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225074768066406 × 216)
    floor (0.225074768066406 × 65536)
    floor (14750.5)     		ty = 14750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14683 / 14750 ti = "16/14683/14750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14683/14750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14683 ÷ 216
    14683 ÷ 65536     		x = 0.224044799804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14750 ÷ 216
    14750 ÷ 65536     		y = 0.225067138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.224044799804688 × 2 - 1) × π
    -0.551910400390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.73387766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225067138671875 × 2 - 1) × π
    0.54986572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.72745411470834
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73387766} λ = -1.73387766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72745411470834))-π/2
    2×atan(5.62631171514361)-π/2
    2×1.39489687884195-π/2
    2.7897937576839-1.57079632675     		φ = 1.21899743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73387766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.343872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21899743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.843408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14683 KachelY 14750 -1.73387766 1.21899743 -99.343872 69.843408
    Oben rechts KachelX + 1 14684 KachelY 14750 -1.73378179 1.21899743 -99.338379 69.843408
    Unten links KachelX 14683 KachelY + 1 14751 -1.73387766 1.21896439 -99.343872 69.841515
    Unten rechts KachelX + 1 14684 KachelY + 1 14751 -1.73378179 1.21896439 -99.338379 69.841515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21899743-1.21896439) × R
    3.30399999999287e-05 × 6371000     		dl = 210.497839999546m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21899743-1.21896439) × R
    3.30399999999287e-05 × 6371000     		dr = 210.497839999546m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73387766--1.73378179) × cos(1.21899743) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344587086292822 × 6371000     		do = 210.469578007586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73387766--1.73378179) × cos(1.21896439) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344618102548639 × 6371000     		du = 210.48852235731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21899743)-sin(1.21896439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344587086292822-0.344618102548639)×R²
    abs(-1.73378179--1.73387766)×3.1016255817029e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.1016255817029e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.1016255817029e-05×40589641000000     		ar = 44305.3854326932m²