Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14683 / 10342
↖ ↑ ↗
← N 76.712651°
W 99.343872°		 ← 140.38 m → N 76.712651°
W 99.338379°		 →
↑
140.42 m
↓
↑
140.42 m
↓
N 76.711388°
W 99.343872°		 ← 140.39 m →
19 713 m²		 N 76.711388°
W 99.338379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.224052429199219 y=0.157814025878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.224052429199219 × 216)
    floor (0.224052429199219 × 65536)
    floor (14683.5)     		tx = 14683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157814025878906 × 216)
    floor (0.157814025878906 × 65536)
    floor (10342.5)     		ty = 10342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14683 / 10342 ti = "16/14683/10342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14683/10342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14683 ÷ 216
    14683 ÷ 65536     		x = 0.224044799804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10342 ÷ 216
    10342 ÷ 65536     		y = 0.157806396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.224044799804688 × 2 - 1) × π
    -0.551910400390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.73387766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157806396484375 × 2 - 1) × π
    0.68438720703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.15006582175876
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73387766} λ = -1.73387766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15006582175876))-π/2
    2×atan(8.58542348625366)-π/2
    2×1.45484232610759-π/2
    2.90968465221518-1.57079632675     		φ = 1.33888833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73387766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.343872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33888833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.712651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14683 KachelY 10342 -1.73387766 1.33888833 -99.343872 76.712651
    Oben rechts KachelX + 1 14684 KachelY 10342 -1.73378179 1.33888833 -99.338379 76.712651
    Unten links KachelX 14683 KachelY + 1 10343 -1.73387766 1.33886629 -99.343872 76.711388
    Unten rechts KachelX + 1 14684 KachelY + 1 10343 -1.73378179 1.33886629 -99.338379 76.711388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33888833-1.33886629) × R
    2.20400000001675e-05 × 6371000     		dl = 140.416840001067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33888833-1.33886629) × R
    2.20400000001675e-05 × 6371000     		dr = 140.416840001067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73387766--1.73378179) × cos(1.33888833) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.229834859798517 × 6371000     		do = 140.380321484596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73387766--1.73378179) × cos(1.33886629) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.229856309724016 × 6371000     		du = 140.393422836758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33888833)-sin(1.33886629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229834859798517-0.229856309724016)×R²
    abs(-1.73378179--1.73387766)×2.14499254987122e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.14499254987122e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.14499254987122e-05×40589641000000     		ar = 19712.6809671205m²