Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14682 / 7345
↖ ↑ ↗
← N 69.956674°
W 18.698730°		 ← 418.67 m → N 69.956674°
W 18.687744°		 →
↑
418.70 m
↓
↑
418.70 m
↓
N 69.952909°
W 18.698730°		 ← 418.75 m →
175 314 m²		 N 69.952909°
W 18.687744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448074340820312 y=0.224166870117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448074340820312 × 215)
    floor (0.448074340820312 × 32768)
    floor (14682.5)     		tx = 14682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224166870117188 × 215)
    floor (0.224166870117188 × 32768)
    floor (7345.5)     		ty = 7345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14682 / 7345 ti = "15/14682/7345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14682/7345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14682 ÷ 215
    14682 ÷ 32768     		x = 0.44805908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7345 ÷ 215
    7345 ÷ 32768     		y = 0.224151611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44805908203125 × 2 - 1) × π
    -0.1038818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32635441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224151611328125 × 2 - 1) × π
    0.55169677734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.73320654266275
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32635441} λ = -0.32635441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73320654266275))-π/2
    2×atan(5.65876993521561)-π/2
    2×1.39588531315473-π/2
    2.79177062630946-1.57079632675     		φ = 1.22097430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32635441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.698730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22097430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.956674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14682 KachelY 7345 -0.32635441 1.22097430 -18.698730 69.956674
    Oben rechts KachelX + 1 14683 KachelY 7345 -0.32616267 1.22097430 -18.687744 69.956674
    Unten links KachelX 14682 KachelY + 1 7346 -0.32635441 1.22090858 -18.698730 69.952909
    Unten rechts KachelX + 1 14683 KachelY + 1 7346 -0.32616267 1.22090858 -18.687744 69.952909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22097430-1.22090858) × R
    6.57200000000469e-05 × 6371000     		dl = 418.702120000299m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22097430-1.22090858) × R
    6.57200000000469e-05 × 6371000     		dr = 418.702120000299m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32635441--0.32616267) × cos(1.22097430) × R
    0.000191739999999996 × 0.34273061885329 × 6371000     		do = 418.671340800233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32635441--0.32616267) × cos(1.22090858) × R
    0.000191739999999996 × 0.342792357697479 × 6371000     		du = 418.746759462162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22097430)-sin(1.22090858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34273061885329-0.342792357697479)×R²
    abs(-0.32616267--0.32635441)×6.17388441886968e-05×R²
    0.000191739999999996×6.17388441886968e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.17388441886968e-05×40589641000000     		ar = 175314.36701682m²