Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14682 / 21514
↖ ↑ ↗
← S 48.994636°
W 18.698730°		 ← 801.51 m → S 48.994636°
W 18.687744°		 →
↑
801.54 m
↓
↑
801.54 m
↓
S 49.001844°
W 18.698730°		 ← 801.40 m →
642 394 m²		 S 49.001844°
W 18.687744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448074340820312 y=0.656570434570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448074340820312 × 215)
    floor (0.448074340820312 × 32768)
    floor (14682.5)     		tx = 14682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656570434570312 × 215)
    floor (0.656570434570312 × 32768)
    floor (21514.5)     		ty = 21514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14682 / 21514 ti = "15/14682/21514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14682/21514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14682 ÷ 215
    14682 ÷ 32768     		x = 0.44805908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21514 ÷ 215
    21514 ÷ 32768     		y = 0.65655517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44805908203125 × 2 - 1) × π
    -0.1038818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32635441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65655517578125 × 2 - 1) × π
    -0.3131103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.983665180203552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32635441} λ = -0.32635441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.983665180203552))-π/2
    2×atan(0.373938033844151)-π/2
    2×0.357839306542292-π/2
    0.715678613084584-1.57079632675     		φ = -0.85511771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32635441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.698730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85511771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.994636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14682 KachelY 21514 -0.32635441 -0.85511771 -18.698730 -48.994636
    Oben rechts KachelX + 1 14683 KachelY 21514 -0.32616267 -0.85511771 -18.687744 -48.994636
    Unten links KachelX 14682 KachelY + 1 21515 -0.32635441 -0.85524352 -18.698730 -49.001844
    Unten rechts KachelX + 1 14683 KachelY + 1 21515 -0.32616267 -0.85524352 -18.687744 -49.001844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85511771--0.85524352) × R
    0.000125810000000004 × 6371000     		dl = 801.535510000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85511771--0.85524352) × R
    0.000125810000000004 × 6371000     		dr = 801.535510000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32635441--0.32616267) × cos(-0.85511771) × R
    0.000191739999999996 × 0.656129684650302 × 6371000     		do = 801.511973836704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32635441--0.32616267) × cos(-0.85524352) × R
    0.000191739999999996 × 0.656034737173587 × 6371000     		du = 801.395988321565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85511771)-sin(-0.85524352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656129684650302-0.656034737173587)×R²
    abs(-0.32616267--0.32635441)×9.49474767145686e-05×R²
    0.000191739999999996×9.49474767145686e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.49474767145686e-05×40589641000000     		ar = 642393.826313588m²