Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14682 / 14749
↖ ↑ ↗
← N 69.845301°
W 99.349365°		 ← 210.45 m → N 69.845301°
W 99.343872°		 →
↑
210.50 m
↓
↑
210.50 m
↓
N 69.843408°
W 99.349365°		 ← 210.47 m →
44 301 m²		 N 69.843408°
W 99.343872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.224037170410156 y=0.225059509277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.224037170410156 × 216)
    floor (0.224037170410156 × 65536)
    floor (14682.5)     		tx = 14682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225059509277344 × 216)
    floor (0.225059509277344 × 65536)
    floor (14749.5)     		ty = 14749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14682 / 14749 ti = "16/14682/14749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14682/14749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14682 ÷ 216
    14682 ÷ 65536     		x = 0.224029541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14749 ÷ 216
    14749 ÷ 65536     		y = 0.225051879882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.224029541015625 × 2 - 1) × π
    -0.55194091796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.73397353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225051879882812 × 2 - 1) × π
    0.549896240234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.72754998850758
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73397353} λ = -1.73397353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72754998850758))-π/2
    2×atan(5.6268511568822)-π/2
    2×1.39491339653515-π/2
    2.7898267930703-1.57079632675     		φ = 1.21903047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73397353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.349365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21903047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.845301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14682 KachelY 14749 -1.73397353 1.21903047 -99.349365 69.845301
    Oben rechts KachelX + 1 14683 KachelY 14749 -1.73387766 1.21903047 -99.343872 69.845301
    Unten links KachelX 14682 KachelY + 1 14750 -1.73397353 1.21899743 -99.349365 69.843408
    Unten rechts KachelX + 1 14683 KachelY + 1 14750 -1.73387766 1.21899743 -99.343872 69.843408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21903047-1.21899743) × R
    3.30400000001507e-05 × 6371000     		dl = 210.49784000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21903047-1.21899743) × R
    3.30400000001507e-05 × 6371000     		dr = 210.49784000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73397353--1.73387766) × cos(1.21903047) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.34455606966084 × 6371000     		do = 210.450633428104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73397353--1.73387766) × cos(1.21899743) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344587086292822 × 6371000     		du = 210.469578007586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21903047)-sin(1.21899743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34455606966084-0.344587086292822)×R²
    abs(-1.73387766--1.73397353)×3.10166319828498e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.10166319828498e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.10166319828498e-05×40589641000000     		ar = 44301.3976640019m²