Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14681 / 21465
↖ ↑ ↗
← S 48.640169°
W 18.709717°		 ← 807.24 m → S 48.640169°
W 18.698730°		 →
↑
807.21 m
↓
↑
807.21 m
↓
S 48.647428°
W 18.709717°		 ← 807.13 m →
651 563 m²		 S 48.647428°
W 18.698730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448043823242188 y=0.655075073242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448043823242188 × 215)
    floor (0.448043823242188 × 32768)
    floor (14681.5)     		tx = 14681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655075073242188 × 215)
    floor (0.655075073242188 × 32768)
    floor (21465.5)     		ty = 21465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14681 / 21465 ti = "15/14681/21465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14681/21465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14681 ÷ 215
    14681 ÷ 32768     		x = 0.448028564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21465 ÷ 215
    21465 ÷ 32768     		y = 0.655059814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448028564453125 × 2 - 1) × π
    -0.10394287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32654616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655059814453125 × 2 - 1) × π
    -0.31011962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.974269547878021
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32654616} λ = -0.32654616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.974269547878021))-π/2
    2×atan(0.37746797517015)-π/2
    2×0.360932616978285-π/2
    0.72186523395657-1.57079632675     		φ = -0.84893109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32654616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.709717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84893109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.640169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14681 KachelY 21465 -0.32654616 -0.84893109 -18.709717 -48.640169
    Oben rechts KachelX + 1 14682 KachelY 21465 -0.32635441 -0.84893109 -18.698730 -48.640169
    Unten links KachelX 14681 KachelY + 1 21466 -0.32654616 -0.84905779 -18.709717 -48.647428
    Unten rechts KachelX + 1 14682 KachelY + 1 21466 -0.32635441 -0.84905779 -18.698730 -48.647428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84893109--0.84905779) × R
    0.000126700000000035 × 6371000     		dl = 807.205700000224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84893109--0.84905779) × R
    0.000126700000000035 × 6371000     		dr = 807.205700000224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32654616--0.32635441) × cos(-0.84893109) × R
    0.000191749999999991 × 0.660785819831948 × 6371000     		do = 807.241893350096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32654616--0.32635441) × cos(-0.84905779) × R
    0.000191749999999991 × 0.660690716737581 × 6371000     		du = 807.125711677221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84893109)-sin(-0.84905779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660785819831948-0.660690716737581)×R²
    abs(-0.32635441--0.32654616)×9.51030943665554e-05×R²
    0.000191749999999991×9.51030943665554e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.51030943665554e-05×40589641000000     		ar = 651563.367208382m²